Страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какой многоугольник называют правильным?

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все внутренние углы равны между собой.

Это означает, что для того чтобы многоугольник считался правильным, он должен одновременно соответствовать двум ключевым критериям:
1. Равносторонность: Длины всех его сторон одинаковы.
2. Равноугольность: Величины всех его внутренних углов равны.

Также по определению правильный многоугольник всегда является выпуклым. Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.

Простейшими примерами правильных многоугольников являются:
- Равносторонний треугольник (правильный треугольник).
- Квадрат (правильный четырехугольник).
- Правильный пятиугольник (пентагон).
- Правильный шестиугольник (гексагон).

Величина каждого внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n$ — число сторон многоугольника.

Ответ: Правильным многоугольником называют выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

2. Какое другое название имеет правильный треугольник?

Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Из свойства равенства всех его сторон следует его другое, наиболее распространенное название — равносторонний треугольник.

Также, поскольку у него равны и все внутренние углы, его можно назвать равноугольным треугольником. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому каждый угол в правильном треугольнике равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. В случае треугольника, понятия "равносторонний" и "равноугольный" эквивалентны.

Ответ: равносторонний треугольник.

3. Какое другое название имеет правильный четырёхугольник?

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Чтобы четырёхугольник был правильным, он должен удовлетворять двум условиям:

1. Все его стороны должны быть равны. Четырёхугольник с равными сторонами называется ромбом.

2. Все его углы должны быть равны. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника всегда равна $360^\circ$. Если все четыре угла равны, то каждый из них должен быть равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Таким образом, правильный четырёхугольник — это фигура, которая является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Такой фигурой является квадрат. У квадрата все стороны равны и все углы равны $90^\circ$.

Ответ: квадрат.

4. Около какого правильного многоугольника можно описать окружность?

Окружность можно описать около любого правильного многоугольника.

Докажем это. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Чтобы доказать, что около него можно описать окружность, необходимо показать существование точки, равноудаленной от всех его вершин. Эта точка и будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Пусть величина каждого его внутреннего угла равна $\alpha$.

Проведём биссектрисы двух соседних углов, например, $\angle A_1$ и $\angle A_2$. Так как эти углы не являются развёрнутыми, их биссектрисы пересекутся в некоторой точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$. Так как $OA_1$ и $OA_2$ являются биссектрисами, то углы при основании $A_1A_2$ равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ — равнобедренный, и $OA_1 = OA_2$.

Теперь соединим точку $O$ с вершиной $A_3$ и сравним треугольники $\triangle OA_2A_1$ и $\triangle OA_2A_3$.

Во-первых, $A_2A_1 = A_2A_3$, так как все стороны правильного многоугольника равны. Во-вторых, сторона $OA_2$ у них общая. В-третьих, рассмотрим углы между этими сторонами. Угол $\angle OA_2A_1 = \frac{\alpha}{2}$ по построению. Угол $\angle OA_2A_3$ можно вычислить как разность: $\angle OA_2A_3 = \angle A_1A_2A_3 - \angle OA_2A_1 = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$.

Так как две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle OA_2A_1$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle OA_2A_3$, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства $\triangle OA_2A_1 \cong \triangle OA_2A_3$ следует равенство соответствующих сторон: $OA_1 = OA_3$. Учитывая, что $OA_1 = OA_2$, получаем: $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Продолжая этот процесс последовательно для всех вершин ($A_4, A_5, \ldots, A_n$), мы докажем, что точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника: $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Это означает, что все вершины данного правильного многоугольника лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$. Следовательно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Ответ: Окружность можно описать около любого правильного многоугольника.

5. В какой правильный многоугольник можно вписать окружность?

Окружность можно вписать в любой правильный многоугольник.

Обоснование:

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. Чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка будет центром вписанной окружности, а расстояние — ее радиусом.

Рассмотрим произвольный правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$.

В любом правильном многоугольнике биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$. Эта точка по определению является центром правильного многоугольника.

Рассмотрим треугольники, образованные центром $O$ и сторонами многоугольника: $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3$ и так далее.

Поскольку $O$ — точка пересечения биссектрис, то, например, в треугольнике $\triangle A_1OA_2$ углы при основании $A_1A_2$ равны, так как они являются половинами равных углов многоугольника: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \alpha/2$, где $\alpha$ — величина внутреннего угла правильного многоугольника. Это означает, что треугольник $\triangle A_1OA_2$ является равнобедренным, и $OA_1 = OA_2$. Аналогично доказывается, что все отрезки, соединяющие центр $O$ с вершинами, равны между собой: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Теперь найдем расстояние от центра $O$ до сторон многоугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведем из точки $O$ перпендикуляры ко всем сторонам многоугольника. Такие перпендикуляры в правильном многоугольнике называются апофемами.

Все треугольники $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3, ..., \triangle A_nOA_1$ равны между собой по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как стороны многоугольника равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ...$) и отрезки, соединяющие центр с вершинами, также равны ($OA_1 = OA_2 = ...$).

В равных треугольниках соответственные элементы равны. Апофемы являются высотами в этих треугольниках, проведенными из вершины $O$ к основаниям. Следовательно, все апофемы равны между собой. Обозначим их длину через $r$.

Таким образом, мы доказали, что центр правильного многоугольника $O$ равноудален от всех его сторон. Это означает, что можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$, которая будет касаться каждой стороны многоугольника в одной точке. По определению, такая окружность является вписанной.

Вывод: в любой правильный многоугольник, независимо от числа его сторон (начиная с трех), можно вписать окружность.

Ответ: Окружность можно вписать в любой правильный многоугольник.

6. Как расположены друг относительно друга центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть определения центров вписанной и описанной окружностей и свойства правильного многоугольника.

Центр вписанной окружности — это точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника. Она является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов.

Центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин многоугольника. Она является точкой пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны.

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Пусть $O$ — центр его описанной окружности. По определению, точка $O$ равноудалена от всех вершин:

$OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$

Соединив точку $O$ с вершинами, мы получим $n$ равнобедренных треугольников: $\triangle OA_1A_2$, $\triangle OA_2A_3$ и так далее. Поскольку все стороны многоугольника равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ...$), а боковые стороны этих треугольников являются радиусами описанной окружности ($OA_1 = OA_2 = ...$), то все эти треугольники равны между собой по трем сторонам.

В равных треугольниках равны и соответствующие высоты. Проведем из вершины $O$ высоты к основаниям этих треугольников (которые являются сторонами многоугольника). Эти высоты будут расстояниями от точки $O$ до сторон многоугольника. Так как все треугольники равны, то и все эти высоты равны между собой.

Это означает, что точка $O$ равноудалена не только от всех вершин, но и от всех сторон правильного многоугольника. А точка, равноудаленная от всех сторон, является центром вписанной окружности.

Таким образом, для любого правильного многоугольника точка, являющаяся центром описанной окружности, является также и центром вписанной окружности. Эта общая точка называется центром правильного многоугольника.

Ответ: Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника совпадают, то есть находятся в одной и той же точке.

7. Что называют центром правильного многоугольника?

7. Центром правильного многоугольника называют точку, которая является общим центром его вписанной и описанной окружностей.

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Особенностью такого многоугольника является то, что в него можно вписать окружность (которая будет касаться всех его сторон), и около него можно описать окружность (которая будет проходить через все его вершины). Центры этих двух окружностей всегда совпадают, и эта общая точка и есть центр правильного многоугольника.

Эта точка обладает следующими свойствами:
1. Она равноудалена от всех вершин многоугольника. Расстояние от центра до любой вершины равно радиусу описанной окружности ($R$).
2. Она равноудалена от всех сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны (длина перпендикуляра) равно радиусу вписанной окружности ($r$) и называется апофемой.

Найти центр правильного многоугольника можно, найдя точку пересечения биссектрис его углов или точку пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам.

Ответ: Центром правильного многоугольника называют точку, являющуюся общим центром его вписанной и описанной окружностей.