Номер 5, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. В какой правильный многоугольник можно вписать окружность?

Окружность можно вписать в любой правильный многоугольник.

Обоснование:

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все внутренние углы. Чтобы в многоугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы существовала точка, равноудаленная от всех его сторон. Эта точка будет центром вписанной окружности, а расстояние — ее радиусом.

Рассмотрим произвольный правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$.

В любом правильном многоугольнике биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке. Назовем эту точку $O$. Эта точка по определению является центром правильного многоугольника.

Рассмотрим треугольники, образованные центром $O$ и сторонами многоугольника: $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3$ и так далее.

Поскольку $O$ — точка пересечения биссектрис, то, например, в треугольнике $\triangle A_1OA_2$ углы при основании $A_1A_2$ равны, так как они являются половинами равных углов многоугольника: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \alpha/2$, где $\alpha$ — величина внутреннего угла правильного многоугольника. Это означает, что треугольник $\triangle A_1OA_2$ является равнобедренным, и $OA_1 = OA_2$. Аналогично доказывается, что все отрезки, соединяющие центр $O$ с вершинами, равны между собой: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Теперь найдем расстояние от центра $O$ до сторон многоугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Проведем из точки $O$ перпендикуляры ко всем сторонам многоугольника. Такие перпендикуляры в правильном многоугольнике называются апофемами.

Все треугольники $\triangle A_1OA_2, \triangle A_2OA_3, ..., \triangle A_nOA_1$ равны между собой по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), так как стороны многоугольника равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ...$) и отрезки, соединяющие центр с вершинами, также равны ($OA_1 = OA_2 = ...$).

В равных треугольниках соответственные элементы равны. Апофемы являются высотами в этих треугольниках, проведенными из вершины $O$ к основаниям. Следовательно, все апофемы равны между собой. Обозначим их длину через $r$.

Таким образом, мы доказали, что центр правильного многоугольника $O$ равноудален от всех его сторон. Это означает, что можно построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$, которая будет касаться каждой стороны многоугольника в одной точке. По определению, такая окружность является вписанной.

Вывод: в любой правильный многоугольник, независимо от числа его сторон (начиная с трех), можно вписать окружность.

Ответ: Окружность можно вписать в любой правильный многоугольник.