Номер 10, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Опишите построение правильного четырёхугольника.

Правильный четырёхугольник — это квадрат. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений. Ниже описаны два основных способа построения.

Этот метод используется, когда необходимо построить квадрат с определённой длиной стороны.

1. Начертите отрезок $AB$, который будет являться стороной квадрата.
2. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через одну из его конечных точек, например, через точку $A$. Для этого:
   1. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу произвольного, но небольшого радиуса так, чтобы она пересекла прямую, содержащую отрезок $AB$, в двух точках. Назовём их $M$ и $N$.
   2. Увеличьте раствор циркуля. Установите острие в точку $M$ и проведите дугу над точкой $A$.
   3. Не меняя раствора циркуля, установите острие в точку $N$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Обозначьте точку их пересечения $K$.
   4. Проведите луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $K$. Этот луч будет перпендикулярен отрезку $AB$.
3. Измерьте циркулем длину отрезка $AB$.
4. Сохраняя этот раствор циркуля, установите его острие в точку $A$ и проведите дугу на перпендикулярном луче. Точку пересечения дуги и луча обозначьте $D$. Таким образом, $AD = AB$.
5. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $B$ и проведите дугу в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, где находится точка $D$.
6. Затем установите острие циркуля в точку $D$ и проведите ещё одну дугу тем же радиусом, чтобы она пересекла дугу, проведённую из точки $B$. Точку пересечения дуг обозначьте $C$.
7. Соедините отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны длине отрезка $AB$, а угол $\angle DAB$ — прямой.

Ответ: Построение, описанное в шагах 1-8, является решением задачи.

Этот метод позволяет построить квадрат, вершины которого лежат на одной окружности.

1. Начертите произвольную окружность с центром в точке $O$.
2. Проведите через центр $O$ прямую (диаметр). Обозначьте точки пересечения этой прямой с окружностью как $A$ и $C$.
3. Постройте второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$:
   1. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу с радиусом, большим, чем радиус окружности ($OA$).
   2. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $C$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (над и под диаметром $AC$).
   3. С помощью линейки проведите прямую через две точки пересечения этих дуг. Эта прямая пройдет через центр $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AC$.
4. Обозначьте точки пересечения построенной перпендикулярной прямой с окружностью как $B$ и $D$.
5. Последовательно соедините отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны (как диаметры одной окружности), взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: Построение, описанное в шагах 1-5, является решением задачи.