Номер 178, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

178. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Постройте вписанный в эту окружность:

1) правильный четырёхугольник;

2) правильный восьмиугольник.

1) правильный четырехугольник

Для построения правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность, необходимо выполнить следующие действия с помощью циркуля и линейки без делений:
1. Начертите окружность с центром в точке O и заданным радиусом $R = 2,5$ см.
2. Проведите через центр O произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначьте буквами A и C. Отрезок AC является диаметром окружности.
3. Постройте второй диаметр BD, перпендикулярный диаметру AC. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку AC:
а) Установите раствор циркуля на произвольное расстояние, которое очевидно больше радиуса окружности (например, равное диаметру AC).
б) Поставив ножку циркуля в точку A, проведите дугу.
в) Не меняя раствора циркуля, поставьте ножку в точку C и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках (над и под диаметром AC).
г) С помощью линейки проведите прямую через полученные точки пересечения дуг. Эта прямая пройдет через центр O и будет перпендикулярна диаметру AC. Обозначьте точки ее пересечения с окружностью буквами B и D.
4. Последовательно соедините отрезками точки A, B, C и D.
Полученный четырехугольник ABCD является искомым правильным четырехугольником (квадратом), вписанным в данную окружность.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить правильный четырехугольник, вписанный в окружность радиусом 2,5 см.

2) правильный восьмиугольник

Для построения правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, можно использовать построение вписанного квадрата:
1. Выполните шаги 1-3 из предыдущего пункта, чтобы получить на окружности четыре вершины A, B, C, D, которые являются вершинами вписанного квадрата. Эти точки также будут вершинами искомого восьмиугольника.
2. Теперь необходимо найти еще четыре вершины. Они будут расположены на серединах дуг AB, BC, CD и DA. Для нахождения этих точек нужно построить биссектрисы центральных углов (∠AOB, ∠BOC, ∠COD и ∠DOA), что равносильно построению серединных перпендикуляров к хордам (сторонам квадрата) AB, BC, CD и DA.
3. Построим серединный перпендикуляр к хорде AB:
а) Установите раствор циркуля на произвольное расстояние, большее половины длины отрезка AB.
б) Поставив ножку циркуля в точку A, проведите дугу.
в) Не меняя раствора циркуля, поставьте ножку в точку B и проведите вторую дугу, пересекающую первую в двух точках.
г) Проведите прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая пройдет через центр O и пересечет окружность в точке, которая является серединой дуги AB. Обозначим эту новую вершину буквой E.
4. Аналогично постройте серединные перпендикуляры к хордам BC, CD и DA, чтобы найти остальные вершины F, G и H на окружности.
5. Последовательно соедините отрезками все восемь вершин в порядке их следования на окружности: A, E, B, F, C, G, D, H.
Полученный многоугольник AEBFCGDH является искомым правильным восьмиугольником, вписанным в данную окружность.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиусом 2,5 см.