Номер 184, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

184. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $\frac{1}{9}$ угла многоугольника?

Пусть $\alpha$ — внутренний угол правильного многоугольника, а $\beta$ — смежный с ним угол, который также является внешним углом многоугольника.

По условию задачи, смежный угол составляет $\frac{1}{9}$ угла многоугольника. Это можно записать в виде уравнения: $$ \beta = \frac{1}{9} \alpha $$

Сумма внутреннего и смежного с ним внешнего углов многоугольника равна $180^\circ$: $$ \alpha + \beta = 180^\circ $$

Решим систему из двух уравнений, подставив выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе: $$ \alpha + \frac{1}{9} \alpha = 180^\circ $$ $$ \frac{9\alpha + \alpha}{9} = 180^\circ $$ $$ \frac{10}{9} \alpha = 180^\circ $$ $$ \alpha = 180^\circ \cdot \frac{9}{10} = 18^\circ \cdot 9 = 162^\circ $$ Итак, внутренний угол многоугольника равен $162^\circ$.

Теперь найдем величину внешнего угла $\beta$: $$ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ $$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Если у многоугольника $n$ сторон (и $n$ углов), то величина одного внешнего угла вычисляется по формуле: $$ \beta = \frac{360^\circ}{n} $$ Отсюда можно найти количество сторон $n$: $$ n = \frac{360^\circ}{\beta} $$ Подставим найденное значение $\beta$: $$ n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20 $$

Ответ: 20.