Номер 188, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

188. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

$a_3$ $R$ $r$

$6\sqrt{3}$ - -

- $4\sqrt{3}$ -

- - $2$

Для нахождения неизвестных величин воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного треугольника ($a_3$) с радиусами его вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

Основные формулы:

• Связь радиуса описанной окружности со стороной: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$ или $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$
• Связь радиуса вписанной окружности со стороной: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$ или $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$
• Связь между радиусами: $R = 2r$

Из этих формул можно выразить сторону через радиусы:

• $a_3 = R\sqrt{3}$
• $a_3 = 2r\sqrt{3}$

Теперь решим задачу для каждой строки таблицы.

Заполнение первой строки таблицы

Дано значение стороны $a_3 = 6\sqrt{3}$.

1. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$. Проще всего это сделать, используя соотношение $R = 2r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Ответ: $R = 6$, $r = 3$.

Заполнение второй строки таблицы

Дано значение радиуса описанной окружности $R = 4\sqrt{3}$.

1. Найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

2. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $a_3 = 12$, $r = 2\sqrt{3}$.

Заполнение третьей строки таблицы

Дано значение радиуса вписанной окружности $r = 2$.

1. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

2. Найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $a_3 = 4\sqrt{3}$, $R = 4$.