Номер 194, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

194. Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в этот треугольник.

Для доказательства воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника.

Рассмотрим правильный треугольник $\triangle ABC$. В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим этот общий центр буквой $O$. Эта точка является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника.

Проведем из вершины $A$ к стороне $BC$ медиану $AM$. Так как треугольник $\triangle ABC$ является правильным, то медиана $AM$ одновременно является и высотой, и биссектрисой.

Радиус описанной окружности, который мы обозначим как $R$, — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Следовательно, $R = AO$.

Радиус вписанной окружности, который мы обозначим как $r$, — это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Поскольку $AM$ является высотой, перпендикулярной к стороне $BC$, то радиус $r$ равен длине отрезка $OM$. Следовательно, $r = OM$.

Ключевым для доказательства является свойство медиан треугольника: они пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Поскольку $O$ является точкой пересечения медиан, она делит медиану $AM$ в следующем отношении:

$$ \frac{AO}{OM} = \frac{2}{1} $$

Теперь подставим в это соотношение определенные нами радиусы $R = AO$ и $r = OM$:

$$ \frac{R}{r} = 2 $$

Из этого равенства напрямую следует, что $R = 2r$.

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в него, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.