Номер 195, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

195. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и сторону треугольника.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Согласно условию задачи, радиус описанной окружности на 4 см больше радиуса вписанной окружности. Математически это можно записать так:

$R = r + 4$

Для правильного (равностороннего) треугольника существует общая зависимость между радиусами описанной и вписанной окружностей. Центры этих окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан, биссектрис и высот. Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности — это отрезок от центра до вершины, а радиус вписанной — это перпендикуляр от центра до стороны (часть медианы). Таким образом, для правильного треугольника радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности:

$R = 2r$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R = r + 4 \\ R = 2r \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$2r = r + 4$

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Мы нашли радиус вписанной окружности. Теперь, зная $r$, найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Осталось найти сторону правильного треугольника, которую обозначим как $a$. Для этого можно использовать формулу, связывающую сторону правильного треугольника с радиусом описанной окружности:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим из этой формулы сторону $a$:

$a = R\sqrt{3}$

Подставим известное значение $R$:

$a = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 4 см, радиус описанной окружности равен 8 см, сторона треугольника равна $8\sqrt{3}$ см.