Номер 199, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

199. Около окружности описан правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Задача решается в два этапа. Сначала мы находим радиус окружности, используя данные об описанном правильном шестиугольнике. Затем, зная радиус, мы находим сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

1. Нахождение радиуса окружности.
Окружность вписана в правильный шестиугольник, так как шестиугольник описан около неё. Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен его апофеме. Связь между стороной правильного шестиугольника $a_6$ и радиусом вписанной в него окружности $r$ выражается формулой:
$r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$
По условию, сторона шестиугольника $a_6 = 4\sqrt{3}$ см. Подставляем это значение в формулу:
$r = \frac{(4\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Таким образом, радиус окружности составляет 6 см.

2. Нахождение стороны квадрата.
Квадрат вписан в данную окружность. Это означает, что вершины квадрата лежат на окружности, а радиус окружности является радиусом описанной около квадрата окружности, то есть $R = r = 6$ см.
Диагональ $d$ вписанного квадрата равна диаметру описанной окружности:
$d = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Стороны квадрата $a_4$ и его диагональ $d$ связаны теоремой Пифагора:
$a_4^2 + a_4^2 = d^2$
$2a_4^2 = 12^2$
$2a_4^2 = 144$
$a_4^2 = \frac{144}{2} = 72$
$a_4 = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.