Номер 206, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

206. Докажите, что все диагонали правильного пятиугольника равны.

Пусть дан правильный пятиугольник ABCDE. Требуется доказать, что все его диагонали равны между собой.

По определению, правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого все стороны равны и все внутренние углы равны. Таким образом, для пятиугольника ABCDE имеем:

$AB = BC = CD = DE = EA$

$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB$

Доказательство проведем путем сравнения треугольников, образованных сторонами и диагоналями пятиугольника.

1. Докажем, что диагональ AC равна диагонали BD.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$. Сравним их элементы:
- Сторона $AB$ равна стороне $CD$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle ABC$ равен углу $\angle BCD$ (как углы правильного пятиугольника).

Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle BCD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае сторона $AC$ из $\triangle ABC$ соответствует стороне $BD$ из $\triangle BCD$. Таким образом, $AC = BD$.

2. Докажем, что диагональ BD равна диагонали CE.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$. Сравним их элементы:
- Сторона $BC$ равна стороне $CD$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Сторона $CD$ равна стороне $DE$ (как стороны правильного пятиугольника).
- Угол $\angle BCD$ равен углу $\angle CDE$ (как углы правильного пятиугольника).

Следовательно, треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$ также равны по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует равенство их соответствующих сторон: $BD = CE$.

3. Заключение.

Мы уже показали, что $AC = BD$ и $BD = CE$. Продолжая эту логику, можно рассмотреть следующие пары треугольников:

- $\triangle CDE \cong \triangle DEA$ (по сторонам $CD=DE$, $DE=EA$ и углу $\angle CDE = \angle DEA$), откуда следует, что $CE = DA$.

- $\triangle DEA \cong \triangle EAB$ (по сторонам $DE=EA$, $EA=AB$ и углу $\angle DEA = \angle EAB$), откуда следует, что $DA = EB$.

Таким образом, мы получили цепочку равенств для всех диагоналей пятиугольника:

$AC = BD = CE = DA = EB$

Это доказывает, что все диагонали правильного пятиугольника равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Все диагонали правильного пятиугольника равны.