Номер 209, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

209. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является стороной правильного треугольника, вписанного в одну окружность, и стороной правильного шестиугольника, вписанного в другую окружность. Длина этой хорды равна $a$. Найдите расстояние между центрами окружностей, если они лежат:

1) по разные стороны от хорды;

2) по одну сторону от хорды.

Пусть $O_1$ и $R_1$ — центр и радиус первой окружности, а $O_2$ и $R_2$ — центр и радиус второй окружности. $AB$ — их общая хорда, и по условию $AB = a$.

1. Найдем радиус первой окружности. В эту окружность вписан правильный треугольник со стороной $a$. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с ее радиусом $R_1$ формулой $a = R_1\sqrt{3}$. Отсюда, $R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Найдем радиус второй окружности. В эту окружность вписан правильный шестиугольник со стороной $a$. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу $R_2$. Следовательно, $R_2 = a$.

3. Линия, соединяющая центры окружностей $O_1O_2$, перпендикулярна общей хорде $AB$ и пересекает ее в середине, точке $M$. Расстояние между центрами $O_1O_2$ можно найти через расстояния от каждого центра до хорды ($d_1 = O_1M$ и $d_2 = O_2M$).

Найдем $d_1 = O_1M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_1MA$. Гипотенуза $O_1A = R_1 = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, катет $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $O_1M^2 = R_1^2 - AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{9} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - 3a^2}{12} = \frac{a^2}{12}$. $d_1 = O_1M = \sqrt{\frac{a^2}{12}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Найдем $d_2 = O_2M$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle O_2MA$. Гипотенуза $O_2A = R_2 = a$, катет $AM = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора: $O_2M^2 = R_2^2 - AM^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$. $d_2 = O_2M = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим два случая расположения центров.

1) по разные стороны от хорды

Если центры лежат по разные стороны от хорды, то расстояние между ними равно сумме расстояний от каждого центра до хорды. $O_1O_2 = d_1 + d_2 = \frac{a\sqrt{3}}{6} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3} + 3a\sqrt{3}}{6} = \frac{4a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

2) по одну сторону от хорды

Если центры лежат по одну сторону от хорды, то расстояние между ними равно модулю разности расстояний от каждого центра до хорды. $O_1O_2 = |d_2 - d_1| = \left|\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right| = \frac{3a\sqrt{3} - a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.