Номер 205, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

205. Угол между радиусами вписанной окружности правильного многоугольника, проведёнными в точки касания этой окружности с соседними сторонами многоугольника, равен $20^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника.

Рассмотрим две соседние стороны многоугольника, пересекающиеся в вершине $A$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности, а $K_1$ и $K_2$ — точки касания этой окружности с данными сторонами. Тогда $OK_1$ и $OK_2$ — это радиусы вписанной окружности.

По условию задачи, угол между этими радиусами равен $20^{\circ}$, то есть $\angle K_1OK_2 = 20^{\circ}$.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK_1 \perp AK_1$ и $OK_2 \perp AK_2$. Это означает, что углы $\angle OK_1A$ и $\angle OK_2A$ прямые: $\angle OK_1A = 90^{\circ}$ $\angle OK_2A = 90^{\circ}$

Рассмотрим четырёхугольник $OK_1AK_2$. Сумма его внутренних углов равна $360^{\circ}$. Угол $\angle K_1AK_2$ этого четырёхугольника является внутренним углом $\alpha$ правильного многоугольника.

Сумма углов четырёхугольника $OK_1AK_2$ равна: $\angle K_1AK_2 + \angle OK_1A + \angle K_1OK_2 + \angle OK_2A = 360^{\circ}$

Подставим известные значения: $\alpha + 90^{\circ} + 20^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$ $\alpha + 200^{\circ} = 360^{\circ}$ $\alpha = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$

Таким образом, внутренний угол правильного многоугольника равен $160^{\circ}$. Внешний угол правильного многоугольника является смежным с внутренним, поэтому он равен $180^{\circ} - \alpha$.

Внешний угол $= 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^{\circ}$. Для правильного $n$-угольника все $n$ внешних углов равны. Следовательно, количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^{\circ}$ на величину одного внешнего угла: $n = \frac{360^{\circ}}{\text{внешний угол}} = \frac{360^{\circ}}{20^{\circ}} = 18$

Следовательно, у многоугольника 18 сторон.

Ответ: 18