Номер 211, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

211. В окружность вписан правильный шестиугольник, и около неё описан правильный шестиугольник. Найдите отношение сторон этих шестиугольников.

Пусть $R$ — радиус окружности. Обозначим сторону вписанного в окружность правильного шестиугольника как $a_{вп}$, а сторону описанного около нее правильного шестиугольника — как $a_{оп}$.

Сначала найдем длину стороны вписанного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Это следует из того, что, соединив вершины шестиугольника с центром окружности, мы получим шесть равносторонних треугольников, сторонами которых являются радиусы и сама сторона шестиугольника. Таким образом, $a_{вп} = R$.

Теперь найдем длину стороны описанного шестиугольника. Для правильного многоугольника, описанного около окружности, радиус этой окружности является его апофемой (длиной перпендикуляра, опущенного из центра на сторону).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $R$, половиной стороны описанного шестиугольника ($\frac{a_{оп}}{2}$) и отрезком, соединяющим центр с вершиной шестиугольника. Угол в этом треугольнике, противолежащий катету $\frac{a_{оп}}{2}$, равен половине центрального угла, соответствующего стороне шестиугольника, то есть $\frac{1}{2} \cdot \frac{360^\circ}{6} = 30^\circ$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике следует: $\tan(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a_{оп}/2}{R}$.
Отсюда можем выразить $a_{оп}$: $a_{оп} = 2R \cdot \tan(30^\circ) = 2R \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Наконец, найдем отношение сторон этих шестиугольников. Найдем отношение стороны вписанного шестиугольника к стороне описанного: $\frac{a_{вп}}{a_{оп}} = \frac{R}{\frac{2R}{\sqrt{3}}} = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.