Номер 213, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

213. Докажите, что сторона правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2-\sqrt{3}}$, где $R$ — радиус его описанной окружности.

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Соединим две соседние вершины двенадцатиугольника, $A$ и $B$, с центром описанной окружности $O$. В результате образуется равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором боковые стороны равны радиусу окружности ($OA = OB = R$), а основание $AB$ является стороной искомого двенадцатиугольника. Обозначим длину этой стороны как $a_{12}$.

Центральный угол $\angle AOB$, который опирается на сторону правильного двенадцатиугольника, вычисляется как полная окружность, деленная на количество сторон:

$ \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ $

Для нахождения длины стороны $a_{12}$ (основания $AB$ треугольника $\triangle AOB$) воспользуемся теоремой косинусов:

$ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) $

Подставим известные нам значения в формулу:

$ a_{12}^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30^\circ) $

Упростим выражение:

$ a_{12}^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(30^\circ) $

$ a_{12}^2 = 2R^2(1 - \cos(30^\circ)) $

Мы знаем, что значение косинуса $30^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$ a_{12}^2 = 2R^2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $

Выполним преобразования:

$ a_{12}^2 = 2R^2 \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) $

$ a_{12}^2 = R^2 (2 - \sqrt{3}) $

Поскольку длина стороны $a_{12}$ является положительной величиной, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:

$ a_{12} = \sqrt{R^2 (2 - \sqrt{3})} $

$ a_{12} = R\sqrt{2 - \sqrt{3}} $

Таким образом, мы доказали, что сторона правильного двенадцатиугольника равна $R\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.