Номер 198, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

198. Сторона правильного многоугольника равна $a$, радиус вписанной окружности равен $r$. Найдите радиус описанной окружности.

Рассмотрим правильный многоугольник. Пусть $O$ — его центр, который также является центром вписанной и описанной окружностей. Пусть $A$ и $B$ — две соседние вершины многоугольника. Тогда $AB$ — это сторона многоугольника, и по условию её длина равна $a$.

Радиус описанной окружности, обозначим его $R$, — это расстояние от центра $O$ до любой вершины. Следовательно, $R = OA = OB$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на сторону многоугольника. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ является радиусом вписанной окружности, $OM = r$, и он перпендикулярен стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $\angle OMA = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OA$ равна радиусу описанной окружности $R$;
• катет $OM$ равен радиусу вписанной окружности $r$;
• катет $AM$ равен половине стороны многоугольника, то есть $AM = \frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $OA^2 = OM^2 + AM^2$

Подставим в это равенство известные значения: $R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

Упростим выражение: $R^2 = r^2 + \frac{a^2}{4}$

Чтобы найти радиус описанной окружности $R$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: $R = \sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}$

Ответ: $\sqrt{r^2 + \frac{a^2}{4}}$