Номер 196, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

196. Сторона правильного многоугольника равна $a$, радиус описанной окружности равен $R$. Найдите радиус вписанной окружности.

Рассмотрим правильный многоугольник. Пусть $O$ — его центр, который также является центром вписанной и описанной окружностей.

Соединим центр $O$ с двумя соседними вершинами многоугольника, $A$ и $B$. Получим равнобедренный треугольник $AOB$, где боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу описанной окружности $R$, а основание $AB$ равно стороне многоугольника $a$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на сторону многоугольника. Проведем высоту $OH$ в треугольнике $AOB$ к основанию $AB$. Длина этой высоты и есть радиус вписанной окружности, то есть $OH = r$.

Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, высота $OH$ является также и медианой. Следовательно, она делит основание $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. В нем:

• гипотенуза $OA = R$ (радиус описанной окружности)
• катет $AH = \frac{a}{2}$ (половина стороны многоугольника)
• катет $OH = r$ (радиус вписанной окружности)

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = AH^2 + OH^2$

Подставим в это равенство известные величины:

$R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = R^2 - \frac{a^2}{4}$

Поскольку радиус $r$ — это длина, он должен быть положительным. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$

Ответ: $r = \sqrt{R^2 - \frac{a^2}{4}}$