Номер 192, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

192. Радиус окружности равен 12 см. Найдите сторону вписанного в эту окружность правильного:

1) шестиугольника;

2) двенадцатиугольника.

Для нахождения стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность, используется формула, связывающая сторону многоугольника $a_n$ с радиусом описанной окружности $R$ и числом сторон $n$:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

По условию задачи, радиус окружности $R = 12$ см.

1) шестиугольника

Для правильного шестиугольника число сторон $n = 6$.

Существует известное свойство: сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Это можно увидеть, если соединить вершины шестиугольника с центром окружности, разделив его на 6 равносторонних треугольников. Стороны этих треугольников равны радиусу.

Следовательно, $a_6 = R = 12$ см.

Также можно применить общую формулу:

$a_6 = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 24 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$a_6 = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

2) двенадцатиугольника

Для правильного двенадцатиугольника число сторон $n = 12$.

Воспользуемся общей формулой:

$a_{12} = 2 \cdot 12 \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = 24 \cdot \sin(15^\circ)$

Для вычисления значения $\sin(15^\circ)$ используем формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Представим $15^\circ$ как разность $45^\circ - 30^\circ$:

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Подставим известные значения синусов и косинусов:

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим найденное значение $\sin(15^\circ)$ в формулу для стороны двенадцатиугольника:

$a_{12} = 24 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ см.

Ответ: $6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$ см.