Номер 177, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

177. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см. Постройте вписанный в эту окружность:

1) правильный шестиугольник;

2) правильный треугольник;

3) правильный двенадцатиугольник.

Для выполнения построений сначала начертим с помощью циркуля окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 3$ см.

1) правильный шестиугольник

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности ($a_6 = R$). В нашем случае $a_6 = 3$ см. Построение выполняется следующим образом:

1. На окружности отмечаем произвольную точку $A_1$. Это будет первая вершина шестиугольника.
2. Раствор циркуля устанавливаем равным радиусу окружности ($3$ см).
3. Устанавливаем острие циркуля в точку $A_1$ и делаем на окружности засечку, получая точку $A_2$.
4. Переносим острие циркуля в точку $A_2$ и тем же раствором делаем следующую засечку, получая точку $A_3$.
5. Продолжаем этот процесс, последовательно находя точки $A_4$, $A_5$ и $A_6$. Последняя засечка из точки $A_6$ должна привести в исходную точку $A_1$.
6. Соединяем полученные точки отрезками в порядке их построения: $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$, $A_5A_6$, $A_6A_1$.

Многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ является искомым правильным шестиугольником.

Ответ: Построение правильного шестиугольника выполнено путем последовательного откладывания на окружности хорд, равных ее радиусу.

2) правильный треугольник

Чтобы построить правильный треугольник, вписанный в окружность, можно соединить через одну вершины уже построенного правильного шестиугольника.

1. Выполняем построение правильного шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, как описано в предыдущем пункте.
2. Соединяем отрезками вершины $A_1$ и $A_3$, $A_3$ и $A_5$, $A_5$ и $A_1$.

Треугольник $A_1A_3A_5$ является искомым правильным треугольником.

Ответ: Построение правильного треугольника выполнено путем соединения вершин вписанного правильного шестиугольника через одну.

3) правильный двенадцатиугольник

Вершины правильного двенадцатиугольника можно получить, добавив к вершинам правильного шестиугольника середины дуг, которые стягивают его стороны.

1. Строим правильный шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Его вершины – это 6 из 12 вершин искомого двенадцатиугольника.
2. Находим середины дуг, стягиваемых сторонами шестиугольника (например, дуги $A_1A_2$). Для этого строим серединные перпендикуляры к сторонам шестиугольника (хордам $A_1A_2$, $A_2A_3$ и т.д.).
3. Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку $A_1A_2$, проводим из точек $A_1$ и $A_2$ дуги одинакового радиуса (больше половины длины $A_1A_2$) до их пересечения с двух сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, и есть серединный перпендикуляр.
4. Точка, в которой серединный перпендикуляр к стороне $A_1A_2$ пересекает окружность, является новой вершиной $B_1$.
5. Аналогично находим остальные пять вершин ($B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$) как точки пересечения серединных перпендикуляров к соответствующим сторонам шестиугольника с окружностью.
6. Последовательно соединяем все 12 вершин: $A_1, B_1, A_2, B_2, \dots, A_6, B_6$.

Полученный многоугольник является искомым правильным двенадцатиугольником.

Ответ: Построение правильного двенадцатиугольника выполнено путем нахождения вершин правильного шестиугольника и середин дуг между ними.