Номер 8, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Запишите формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника, треугольника, четырёхугольника, шестиугольника.

правильного n-угольника

Пусть $a$ – длина стороны правильного n-угольника, $r$ – радиус вписанной окружности, $R$ – радиус описанной окружности.
Формула радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$
Формула радиуса описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$

Ответ: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$, $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

треугольника

Для правильного треугольника (равностороннего) со стороной $a$, количество сторон $n=3$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a}{2 \tan(60^\circ)} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

четырёхугольника

Для правильного четырёхугольника (квадрата) со стороной $a$, количество сторон $n=4$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{4})} = \frac{a}{2 \tan(45^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})} = \frac{a}{2 \sin(45^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $r = \frac{a}{2}$, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

шестиугольника

Для правильного шестиугольника со стороной $a$, количество сторон $n=6$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}} = a$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $R = a$.