Номер 4, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Около какого правильного многоугольника можно описать окружность?

Окружность можно описать около любого правильного многоугольника.

Докажем это. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Чтобы доказать, что около него можно описать окружность, необходимо показать существование точки, равноудаленной от всех его вершин. Эта точка и будет являться центром описанной окружности.

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. Пусть величина каждого его внутреннего угла равна $\alpha$.

Проведём биссектрисы двух соседних углов, например, $\angle A_1$ и $\angle A_2$. Так как эти углы не являются развёрнутыми, их биссектрисы пересекутся в некоторой точке $O$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_2$. Так как $OA_1$ и $OA_2$ являются биссектрисами, то углы при основании $A_1A_2$ равны: $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1 = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, треугольник $\triangle A_1OA_2$ — равнобедренный, и $OA_1 = OA_2$.

Теперь соединим точку $O$ с вершиной $A_3$ и сравним треугольники $\triangle OA_2A_1$ и $\triangle OA_2A_3$.

Во-первых, $A_2A_1 = A_2A_3$, так как все стороны правильного многоугольника равны. Во-вторых, сторона $OA_2$ у них общая. В-третьих, рассмотрим углы между этими сторонами. Угол $\angle OA_2A_1 = \frac{\alpha}{2}$ по построению. Угол $\angle OA_2A_3$ можно вычислить как разность: $\angle OA_2A_3 = \angle A_1A_2A_3 - \angle OA_2A_1 = \alpha - \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$. Таким образом, $\angle OA_2A_1 = \angle OA_2A_3$.

Так как две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle OA_2A_1$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle OA_2A_3$, то эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства $\triangle OA_2A_1 \cong \triangle OA_2A_3$ следует равенство соответствующих сторон: $OA_1 = OA_3$. Учитывая, что $OA_1 = OA_2$, получаем: $OA_1 = OA_2 = OA_3$.

Продолжая этот процесс последовательно для всех вершин ($A_4, A_5, \ldots, A_n$), мы докажем, что точка $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника: $OA_1 = OA_2 = \dots = OA_n$.

Это означает, что все вершины данного правильного многоугольника лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA_1$. Следовательно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Ответ: Окружность можно описать около любого правильного многоугольника.