Номер 9, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. В треугольнике ABC $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^{\circ}$. Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника?

А) 4 см

Б) 8 см

В) 16 см

Г) 2 см

Для решения этой задачи используется следствие из теоремы синусов. Оно гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($D$) окружности, описанной около этого треугольника.

Формула выглядит следующим образом: $ D = 2R = \frac{a}{\sin \alpha} $, где $a$ — сторона треугольника, $\alpha$ — противолежащий ей угол, а $R$ — радиус описанной окружности.

В нашем треугольнике $ABC$ даны сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 135^\circ$.

Подставим известные значения в формулу для нахождения диаметра:

$ D = \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} $

Найдем значение $\sin 135^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$ \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ $

Значение синуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим это значение в нашу формулу для диаметра:

$ D = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $

Для вычисления разделим числитель на дробь в знаменателе, что равносильно умножению на перевернутую дробь:

$ D = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $

Сокращаем общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$ D = 4 \cdot 2 = 8 $ см.

Таким образом, диаметр описанной окружности равен 8 см.

Ответ: Б) 8 см