Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Какое из неравенств верно?

А) $\sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0$

Б) $\sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0$

В) $\sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0$

Г) $\sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0$

Для решения этой задачи необходимо определить знаки тригонометрических функций для заданных углов. Для этого удобно использовать тригонометрическую окружность. Углы принято отсчитывать от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.

• I четверть: $0° < \alpha < 90°$ ($\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0$)
• II четверть: $90° < \alpha < 180°$ ($\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0$)
• III четверть: $180° < \alpha < 270°$ ($\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0$)
• IV четверть: $270° < \alpha < 360°$ ($\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0$)

Определим знак каждого множителя в предложенных неравенствах:

• $\sin 100°$: Угол $100°$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, $\sin 100° > 0$.
• $\cos 110°$: Угол $110°$ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Значит, $\cos 110° < 0$.
• $\cos 10°$: Угол $10°$ находится в I четверти, где косинус положителен. Значит, $\cos 10° > 0$.
• $\cos 90°$: Это граничный угол. Его косинус равен нулю. Значит, $\cos 90° = 0$.

Теперь проверим каждое неравенство:

А) $\sin 100° \cos 110° > 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (-) = (-)$. Результат — отрицательное число. Неравенство утверждает, что произведение больше нуля, что неверно.

Б) $\sin 100° \cos 10° < 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (+) = (+)$. Результат — положительное число. Неравенство утверждает, что произведение меньше нуля, что неверно.

В) $\sin 100° \cos 110° < 0$

Подставляем знаки множителей: $(+) \cdot (-) = (-)$. Результат — отрицательное число. Неравенство утверждает, что произведение меньше нуля, что верно.

Г) $\sin 100° \cos 90° > 0$

Так как $\cos 90° = 0$, то всё произведение равно нулю: $\sin 100° \cdot 0 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.

Таким образом, единственное верное неравенство — В.
Ответ: В