Номер 7, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. В треугольнике ABC известно, что $AB = 8$ см, $\angle C = 30^\circ$, $\angle A = 45^\circ$.

Чему равна сторона $BC$?

A) $8\sqrt{2}$ см

Б) $4\sqrt{2}$ см

В) $16\sqrt{2}$ см

Г) $12\sqrt{2}$ см

Для нахождения длины стороны $BC$ в треугольнике $ABC$ можно применить теорему синусов. Эта теорема устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов. Формулировка теоремы синусов выглядит следующим образом:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем треугольнике $ABC$ известны следующие данные:

• Длина стороны $AB = 8$ см.
• Угол $\angle C = 30^\circ$, который лежит напротив стороны $AB$.
• Угол $\angle A = 45^\circ$, который лежит напротив искомой стороны $BC$.

Используем часть теоремы синусов, связывающую известные и искомые величины:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим в это уравнение известные значения:

$ \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ} $

Чтобы найти $BC$, выразим его из пропорции:

$ BC = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} $

Значения синусов для данных углов являются стандартными:

$ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $

Подставим эти значения в нашу формулу и произведем расчет:

$ BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} $

Деление на $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на 2:

$ BC = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2} $ см.

Таким образом, длина стороны $BC$ составляет $8\sqrt{2}$ см, что соответствует варианту ответа А).

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.