Номер 1, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из равенств верно?

A) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$

Б) $\cos (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$

B) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \cos \alpha$

Г) $\sin (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$

Для определения верного равенства воспользуемся формулами приведения. Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции от углов, связанных с $180^\circ$ или $90^\circ$, через функции угла $\alpha$.

Правила для угла $180^\circ - \alpha$:

1. Определение знака: Угол $180^\circ - \alpha$ находится во II координатной четверти (если считать $\alpha$ острым углом). В этой четверти синус положителен ($\sin > 0$), а косинус отрицателен ($\cos < 0$).
2. Определение функции: Если в формуле используется угол $180^\circ$ ($\pi$) или $360^\circ$ ($2\pi$), то название тригонометрической функции не меняется (синус остается синусом, косинус — косинусом).

Исходя из этих правил, получаем следующие тождества:

• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ (косинус во II четверти отрицателен, функция не меняется).
• $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ (синус во II четверти положителен, функция не меняется).

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $\cos(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Данное равенство неверно. Согласно формуле приведения, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$. Равенство $-\cos \alpha = \sin \alpha$ не является тождеством. Ответ: неверно.

Б) $\cos(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

Данное равенство неверно. В правильной формуле $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ должен стоять знак минус. Ответ: неверно.

В) $\sin(180^\circ - \alpha) = \cos \alpha$

Данное равенство неверно. Согласно формуле приведения, $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$. Название функции не должно меняться на кофункцию. Ответ: неверно.

Г) $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$

Данное равенство является верным. Оно в точности соответствует выведенной выше формуле приведения для синуса. Ответ: верно.