Номер 9, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Опишите построение правильного шестиугольника.

Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки (без делений) основывается на ключевом свойстве: сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности ($a_6 = R$).

Алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля строим произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Все вершины будущего шестиугольника будут лежать на этой окружности.
2. Выбираем на окружности любую точку, назовем ее $A$. Эта точка будет первой вершиной шестиугольника.
3. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу построенной окружности $R$. Этот раствор циркуля не меняем до конца построения вершин.
4. Ставим острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу так, чтобы она пересекла окружность. Точку пересечения обозначаем как $B$. Это вторая вершина.
5. Перемещаем острие циркуля в полученную точку $B$ и снова проводим дугу тем же радиусом, получая на окружности следующую точку $C$.
6. Продолжаем этот процесс, последовательно перемещая острие циркуля в каждую новую вершину ($C$, затем $D$, $E$, $F$) и откладывая на окружности новые точки.
7. После того как будут построены 6 точек, последняя дуга, проведенная из точки $F$, должна пересечь окружность в исходной точке $A$. Это служит проверкой точности построения.
8. С помощью линейки последовательно соединяем отрезками полученные точки: $A$ c $B$, $B$ c $C$, $C$ c $D$, $D$ c $E$, $E$ c $F$ и $F$ c $A$.

Полученная фигура $ABCDEF$ является правильным шестиугольником.

Обоснование: Если соединить центр окружности $O$ с двумя соседними вершинами, например, $A$ и $B$, получится треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу окружности $R$. По построению, хорда $AB$ также равна радиусу $R$. Таким образом, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним. Угол $\angle AOB$ в центре окружности равен $60^\circ$. Поскольку полный угол составляет $360^\circ$, и $360^\circ / 60^\circ = 6$, то на окружности можно разместить ровно 6 таких центральных углов, а значит, и 6 равных хорд, которые и образуют правильный шестиугольник.

Ответ: Для построения правильного шестиугольника необходимо начертить окружность, выбрать на ней произвольную точку и, установив раствор циркуля равным радиусу окружности, последовательно сделать на окружности шесть засечек. Полученные шесть точек будут вершинами искомого шестиугольника, которые останется соединить отрезками.