Страница 53 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Запишите формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника, треугольника, четырёхугольника, шестиугольника.

правильного n-угольника

Пусть $a$ – длина стороны правильного n-угольника, $r$ – радиус вписанной окружности, $R$ – радиус описанной окружности.
Формула радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$
Формула радиуса описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$

Ответ: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$, $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

треугольника

Для правильного треугольника (равностороннего) со стороной $a$, количество сторон $n=3$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a}{2 \tan(60^\circ)} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

четырёхугольника

Для правильного четырёхугольника (квадрата) со стороной $a$, количество сторон $n=4$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{4})} = \frac{a}{2 \tan(45^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{4})} = \frac{a}{2 \sin(45^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $r = \frac{a}{2}$, $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

шестиугольника

Для правильного шестиугольника со стороной $a$, количество сторон $n=6$.
Радиус вписанной окружности:
$r = \frac{a}{2 \tan(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{2 \sin(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}} = a$

Ответ: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $R = a$.

9. Опишите построение правильного шестиугольника.

Построение правильного шестиугольника с помощью циркуля и линейки (без делений) основывается на ключевом свойстве: сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности ($a_6 = R$).

Алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля строим произвольную окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Все вершины будущего шестиугольника будут лежать на этой окружности.
2. Выбираем на окружности любую точку, назовем ее $A$. Эта точка будет первой вершиной шестиугольника.
3. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу построенной окружности $R$. Этот раствор циркуля не меняем до конца построения вершин.
4. Ставим острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу так, чтобы она пересекла окружность. Точку пересечения обозначаем как $B$. Это вторая вершина.
5. Перемещаем острие циркуля в полученную точку $B$ и снова проводим дугу тем же радиусом, получая на окружности следующую точку $C$.
6. Продолжаем этот процесс, последовательно перемещая острие циркуля в каждую новую вершину ($C$, затем $D$, $E$, $F$) и откладывая на окружности новые точки.
7. После того как будут построены 6 точек, последняя дуга, проведенная из точки $F$, должна пересечь окружность в исходной точке $A$. Это служит проверкой точности построения.
8. С помощью линейки последовательно соединяем отрезками полученные точки: $A$ c $B$, $B$ c $C$, $C$ c $D$, $D$ c $E$, $E$ c $F$ и $F$ c $A$.

Полученная фигура $ABCDEF$ является правильным шестиугольником.

Обоснование: Если соединить центр окружности $O$ с двумя соседними вершинами, например, $A$ и $B$, получится треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу окружности $R$. По построению, хорда $AB$ также равна радиусу $R$. Таким образом, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним. Угол $\angle AOB$ в центре окружности равен $60^\circ$. Поскольку полный угол составляет $360^\circ$, и $360^\circ / 60^\circ = 6$, то на окружности можно разместить ровно 6 таких центральных углов, а значит, и 6 равных хорд, которые и образуют правильный шестиугольник.

Ответ: Для построения правильного шестиугольника необходимо начертить окружность, выбрать на ней произвольную точку и, установив раствор циркуля равным радиусу окружности, последовательно сделать на окружности шесть засечек. Полученные шесть точек будут вершинами искомого шестиугольника, которые останется соединить отрезками.

10. Опишите построение правильного четырёхугольника.

Правильный четырёхугольник — это квадрат. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений. Ниже описаны два основных способа построения.

Этот метод используется, когда необходимо построить квадрат с определённой длиной стороны.

1. Начертите отрезок $AB$, который будет являться стороной квадрата.
2. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку $AB$ и проходящую через одну из его конечных точек, например, через точку $A$. Для этого:
   1. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу произвольного, но небольшого радиуса так, чтобы она пересекла прямую, содержащую отрезок $AB$, в двух точках. Назовём их $M$ и $N$.
   2. Увеличьте раствор циркуля. Установите острие в точку $M$ и проведите дугу над точкой $A$.
   3. Не меняя раствора циркуля, установите острие в точку $N$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Обозначьте точку их пересечения $K$.
   4. Проведите луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $K$. Этот луч будет перпендикулярен отрезку $AB$.
3. Измерьте циркулем длину отрезка $AB$.
4. Сохраняя этот раствор циркуля, установите его острие в точку $A$ и проведите дугу на перпендикулярном луче. Точку пересечения дуги и луча обозначьте $D$. Таким образом, $AD = AB$.
5. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $B$ и проведите дугу в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, где находится точка $D$.
6. Затем установите острие циркуля в точку $D$ и проведите ещё одну дугу тем же радиусом, чтобы она пересекла дугу, проведённую из точки $B$. Точку пересечения дуг обозначьте $C$.
7. Соедините отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как по построению все его стороны равны длине отрезка $AB$, а угол $\angle DAB$ — прямой.

Ответ: Построение, описанное в шагах 1-8, является решением задачи.

Этот метод позволяет построить квадрат, вершины которого лежат на одной окружности.

1. Начертите произвольную окружность с центром в точке $O$.
2. Проведите через центр $O$ прямую (диаметр). Обозначьте точки пересечения этой прямой с окружностью как $A$ и $C$.
3. Постройте второй диаметр, перпендикулярный диаметру $AC$. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$:
   1. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу с радиусом, большим, чем радиус окружности ($OA$).
   2. Не меняя раствора циркуля, установите его острие в точку $C$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (над и под диаметром $AC$).
   3. С помощью линейки проведите прямую через две точки пересечения этих дуг. Эта прямая пройдет через центр $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AC$.
4. Обозначьте точки пересечения построенной перпендикулярной прямой с окружностью как $B$ и $D$.
5. Последовательно соедините отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым квадратом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ равны (как диаметры одной окружности), взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: Построение, описанное в шагах 1-5, является решением задачи.

11. Как, имея построенный правильный $n$-угольник, можно построить правильный $2n$-угольник?

Для построения правильного $2n$-угольника, имея построенный правильный $n$-угольник, необходимо выполнить следующие действия. Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности, которая называется описанной. Задача состоит в том, чтобы найти середины дуг, стягиваемых сторонами исходного $n$-угольника. Эти середины дуг, вместе с исходными вершинами, и будут образовывать вершины искомого $2n$-угольника.

Алгоритм построения:

1. Находим центр описанной окружности исходного $n$-угольника. Для этого достаточно построить серединные перпендикуляры к двум любым его непараллельным сторонам. Точка их пересечения $O$ и будет центром окружности.
2. Описываем окружность с центром в точке $O$, проходящую через все вершины $n$-угольника ($A_1, A_2, \ldots, A_n$).
3. Для каждой стороны исходного $n$-угольника (например, $A_k A_{k+1}$) строим ее серединный перпендикуляр.
4. Точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне $A_k A_{k+1}$ с дугой описанной окружности, стягиваемой этой стороной, будет новой вершиной $B_k$ искомого $2n$-угольника. Эта точка делит дугу $A_k A_{k+1}$ пополам.
5. Повторяем шаг 4 для всех $n$ сторон исходного многоугольника. В результате мы получим $n$ новых вершин ($B_1, B_2, \ldots, B_n$).
6. Соединяем последовательно все $2n$ вершин ($A_1, B_1, A_2, B_2, \ldots, A_n, B_n$) отрезками. Полученная фигура и будет являться правильным $2n$-угольником.

Данное построение является верным, так как стороны правильного $n$-угольника стягивают $n$ равных дуг описанной окружности. Серединные перпендикуляры к сторонам (которые являются хордами окружности) делят эти дуги пополам. В результате мы получаем $2n$ равных дуг, а соединение их концов хордами дает правильный $2n$-угольник.

Ответ: Необходимо найти центр описанной окружности данного $n$-угольника, а затем для каждой его стороны построить серединный перпендикуляр до пересечения с дугой описанной окружности. Точки пересечения вместе с вершинами исходного $n$-угольника образуют вершины правильного $2n$-угольника.

177. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см. Постройте вписанный в эту окружность:

1) правильный шестиугольник;

2) правильный треугольник;

3) правильный двенадцатиугольник.

Для выполнения построений сначала начертим с помощью циркуля окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = 3$ см.

1) правильный шестиугольник

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности ($a_6 = R$). В нашем случае $a_6 = 3$ см. Построение выполняется следующим образом:

1. На окружности отмечаем произвольную точку $A_1$. Это будет первая вершина шестиугольника.
2. Раствор циркуля устанавливаем равным радиусу окружности ($3$ см).
3. Устанавливаем острие циркуля в точку $A_1$ и делаем на окружности засечку, получая точку $A_2$.
4. Переносим острие циркуля в точку $A_2$ и тем же раствором делаем следующую засечку, получая точку $A_3$.
5. Продолжаем этот процесс, последовательно находя точки $A_4$, $A_5$ и $A_6$. Последняя засечка из точки $A_6$ должна привести в исходную точку $A_1$.
6. Соединяем полученные точки отрезками в порядке их построения: $A_1A_2$, $A_2A_3$, $A_3A_4$, $A_4A_5$, $A_5A_6$, $A_6A_1$.

Многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ является искомым правильным шестиугольником.

Ответ: Построение правильного шестиугольника выполнено путем последовательного откладывания на окружности хорд, равных ее радиусу.

2) правильный треугольник

Чтобы построить правильный треугольник, вписанный в окружность, можно соединить через одну вершины уже построенного правильного шестиугольника.

1. Выполняем построение правильного шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, как описано в предыдущем пункте.
2. Соединяем отрезками вершины $A_1$ и $A_3$, $A_3$ и $A_5$, $A_5$ и $A_1$.

Треугольник $A_1A_3A_5$ является искомым правильным треугольником.

Ответ: Построение правильного треугольника выполнено путем соединения вершин вписанного правильного шестиугольника через одну.

3) правильный двенадцатиугольник

Вершины правильного двенадцатиугольника можно получить, добавив к вершинам правильного шестиугольника середины дуг, которые стягивают его стороны.

1. Строим правильный шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$. Его вершины – это 6 из 12 вершин искомого двенадцатиугольника.
2. Находим середины дуг, стягиваемых сторонами шестиугольника (например, дуги $A_1A_2$). Для этого строим серединные перпендикуляры к сторонам шестиугольника (хордам $A_1A_2$, $A_2A_3$ и т.д.).
3. Чтобы построить серединный перпендикуляр к отрезку $A_1A_2$, проводим из точек $A_1$ и $A_2$ дуги одинакового радиуса (больше половины длины $A_1A_2$) до их пересечения с двух сторон от отрезка. Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, и есть серединный перпендикуляр.
4. Точка, в которой серединный перпендикуляр к стороне $A_1A_2$ пересекает окружность, является новой вершиной $B_1$.
5. Аналогично находим остальные пять вершин ($B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$) как точки пересечения серединных перпендикуляров к соответствующим сторонам шестиугольника с окружностью.
6. Последовательно соединяем все 12 вершин: $A_1, B_1, A_2, B_2, \dots, A_6, B_6$.

Полученный многоугольник является искомым правильным двенадцатиугольником.

Ответ: Построение правильного двенадцатиугольника выполнено путем нахождения вершин правильного шестиугольника и середин дуг между ними.

178. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Постройте вписанный в эту окружность:

1) правильный четырёхугольник;

2) правильный восьмиугольник.

1) правильный четырехугольник

Для построения правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность, необходимо выполнить следующие действия с помощью циркуля и линейки без делений:
1. Начертите окружность с центром в точке O и заданным радиусом $R = 2,5$ см.
2. Проведите через центр O произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначьте буквами A и C. Отрезок AC является диаметром окружности.
3. Постройте второй диаметр BD, перпендикулярный диаметру AC. Для этого нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку AC:
а) Установите раствор циркуля на произвольное расстояние, которое очевидно больше радиуса окружности (например, равное диаметру AC).
б) Поставив ножку циркуля в точку A, проведите дугу.
в) Не меняя раствора циркуля, поставьте ножку в точку C и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекала первую в двух точках (над и под диаметром AC).
г) С помощью линейки проведите прямую через полученные точки пересечения дуг. Эта прямая пройдет через центр O и будет перпендикулярна диаметру AC. Обозначьте точки ее пересечения с окружностью буквами B и D.
4. Последовательно соедините отрезками точки A, B, C и D.
Полученный четырехугольник ABCD является искомым правильным четырехугольником (квадратом), вписанным в данную окружность.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить правильный четырехугольник, вписанный в окружность радиусом 2,5 см.

2) правильный восьмиугольник

Для построения правильного восьмиугольника, вписанного в окружность, можно использовать построение вписанного квадрата:
1. Выполните шаги 1-3 из предыдущего пункта, чтобы получить на окружности четыре вершины A, B, C, D, которые являются вершинами вписанного квадрата. Эти точки также будут вершинами искомого восьмиугольника.
2. Теперь необходимо найти еще четыре вершины. Они будут расположены на серединах дуг AB, BC, CD и DA. Для нахождения этих точек нужно построить биссектрисы центральных углов (∠AOB, ∠BOC, ∠COD и ∠DOA), что равносильно построению серединных перпендикуляров к хордам (сторонам квадрата) AB, BC, CD и DA.
3. Построим серединный перпендикуляр к хорде AB:
а) Установите раствор циркуля на произвольное расстояние, большее половины длины отрезка AB.
б) Поставив ножку циркуля в точку A, проведите дугу.
в) Не меняя раствора циркуля, поставьте ножку в точку B и проведите вторую дугу, пересекающую первую в двух точках.
г) Проведите прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая пройдет через центр O и пересечет окружность в точке, которая является серединой дуги AB. Обозначим эту новую вершину буквой E.
4. Аналогично постройте серединные перпендикуляры к хордам BC, CD и DA, чтобы найти остальные вершины F, G и H на окружности.
5. Последовательно соедините отрезками все восемь вершин в порядке их следования на окружности: A, E, B, F, C, G, D, H.
Полученный многоугольник AEBFCGDH является искомым правильным восьмиугольником, вписанным в данную окружность.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиусом 2,5 см.

179. Найдите углы правильного $n$-угольника, если:

1) $n = 6$;

2) $n = 9$;

3) $n = 15$.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула. Сумма всех внутренних углов любого выпуклого n-угольника вычисляется как $180^\circ \cdot (n-2)$. В правильном n-угольнике все $n$ углов равны между собой. Следовательно, чтобы найти величину одного угла, нужно общую сумму углов разделить на их количество.

Формула для одного внутреннего угла ($\alpha$) правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

1) Для правильного шестиугольника, где число сторон $n = 6$.

Подставляем $n=6$ в формулу:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (6-2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 30^\circ \cdot 4 = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

2) Для правильного девятиугольника, где число сторон $n = 9$.

Подставляем $n=9$ в формулу:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (9-2)}{9} = \frac{180^\circ \cdot 7}{9} = 20^\circ \cdot 7 = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.

3) Для правильного пятнадцатиугольника, где число сторон $n = 15$.

Подставляем $n=15$ в формулу:

$\alpha = \frac{180^\circ \cdot (15-2)}{15} = \frac{180^\circ \cdot 13}{15} = 12^\circ \cdot 13 = 156^\circ$.

Ответ: $156^\circ$.

180. Найдите углы правильного:

1) восьмиугольника;

2) десятиугольника.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула: $α = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.

1) восьмиугольника

Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон и углов, следовательно, $n = 8$.

Подставим это значение в формулу, чтобы найти величину одного угла:

$α = \frac{(8-2) \cdot 180°}{8} = \frac{6 \cdot 180°}{8} = \frac{1080°}{8} = 135°$.

Ответ: 135°.

2) десятиугольника

Правильный десятиугольник имеет 10 равных сторон и углов, следовательно, $n = 10$.

Подставим это значение в формулу:

$α = \frac{(10-2) \cdot 180°}{10} = \frac{8 \cdot 180°}{10} = 8 \cdot 18° = 144°$.

Ответ: 144°.

181. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен:

1) $60^{\circ}$;

2) $171^{\circ}$?

Для нахождения количества сторон $n$ правильного многоугольника, зная его внутренний угол $\alpha$, можно использовать формулу, связывающую эти величины. Однако, удобнее для вычислений сначала найти внешний угол многоугольника $\beta$, который связан с внутренним углом соотношением $\beta = 180^\circ - \alpha$. Затем найти количество сторон по формуле $n = \frac{360^\circ}{\beta}$. Воспользуемся этим способом.

1)
Дан внутренний угол $\alpha = 60^\circ$.
Найдём величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Теперь вычислим количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$.
Таким образом, многоугольник имеет 3 стороны (это равносторонний треугольник).
Ответ: 3.

2)
Дан внутренний угол $\alpha = 171^\circ$.
Найдём величину внешнего угла $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 171^\circ = 9^\circ$.
Теперь вычислим количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{9^\circ} = 40$.
Таким образом, многоугольник имеет 40 сторон.
Ответ: 40.

182. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен:

1) $90^\circ$;

2) $108^\circ$?

Для нахождения количества сторон правильного многоугольника воспользуемся формулой для вычисления его внутреннего угла $\alpha$:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника. Нам нужно найти $n$, зная $\alpha$.

1)

Пусть внутренний угол правильного многоугольника равен $90^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$90 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$

Чтобы решить это уравнение относительно $n$, умножим обе части на $n$:

$90n = (n-2) \cdot 180$

Раскроем скобки в правой части:

$90n = 180n - 360$

Перенесем члены, содержащие $n$, в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$360 = 180n - 90n$

$360 = 90n$

Теперь найдем $n$:

$n = \frac{360}{90}$

$n = 4$

Следовательно, данный правильный многоугольник имеет 4 стороны (это квадрат).

Ответ: 4.

2)

Пусть внутренний угол правильного многоугольника равен $108^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$108 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$

Умножим обе части уравнения на $n$:

$108n = (n-2) \cdot 180$

Раскроем скобки:

$108n = 180n - 360$

Сгруппируем члены с $n$:

$360 = 180n - 108n$

$360 = 72n$

Найдем $n$:

$n = \frac{360}{72}$

$n = 5$

Следовательно, данный правильный многоугольник имеет 5 сторон (это правильный пятиугольник).

Ответ: 5.

183. Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен:

1) $140^\circ$;

2) $130^\circ$?

Чтобы определить, существует ли правильный многоугольник с заданным углом, можно использовать формулу для вычисления величины внутреннего угла $\alpha$ правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Здесь $n$ — это количество сторон многоугольника. Для того чтобы многоугольник существовал, значение $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3, n \in \mathbb{Z}$).

Также можно использовать формулу, связывающую количество сторон $n$ с величиной внешнего угла $\beta$. Внешний угол равен $\beta = 180^\circ - \alpha$, а количество сторон вычисляется как $n = \frac{360^\circ}{\beta}$. Этот способ часто проще.

1) 140°

Подставим значение угла $\alpha = 140^\circ$ в формулу и найдем $n$:

$140^\circ = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

$140n = 180(n-2)$

$140n = 180n - 360$

$180n - 140n = 360$

$40n = 360$

$n = \frac{360}{40} = 9$

Поскольку мы получили целое число $n=9$ ($9 \ge 3$), то правильный многоугольник с углом 140° существует. Это правильный девятиугольник.

Ответ: да, существует.

2) 130°

Проверим, существует ли правильный многоугольник с углом $\alpha = 130^\circ$. Воспользуемся вторым, более быстрым методом.

Сначала найдем внешний угол $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Теперь найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{50^\circ} = \frac{36}{5} = 7.2$

Поскольку число сторон $n = 7.2$ не является целым числом, правильного многоугольника с углом 130° не существует.

Ответ: нет, не существует.

184. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $\frac{1}{9}$ угла многоугольника?

Пусть $\alpha$ — внутренний угол правильного многоугольника, а $\beta$ — смежный с ним угол, который также является внешним углом многоугольника.

По условию задачи, смежный угол составляет $\frac{1}{9}$ угла многоугольника. Это можно записать в виде уравнения: $$ \beta = \frac{1}{9} \alpha $$

Сумма внутреннего и смежного с ним внешнего углов многоугольника равна $180^\circ$: $$ \alpha + \beta = 180^\circ $$

Решим систему из двух уравнений, подставив выражение для $\beta$ из первого уравнения во второе: $$ \alpha + \frac{1}{9} \alpha = 180^\circ $$ $$ \frac{9\alpha + \alpha}{9} = 180^\circ $$ $$ \frac{10}{9} \alpha = 180^\circ $$ $$ \alpha = 180^\circ \cdot \frac{9}{10} = 18^\circ \cdot 9 = 162^\circ $$ Итак, внутренний угол многоугольника равен $162^\circ$.

Теперь найдем величину внешнего угла $\beta$: $$ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ $$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Если у многоугольника $n$ сторон (и $n$ углов), то величина одного внешнего угла вычисляется по формуле: $$ \beta = \frac{360^\circ}{n} $$ Отсюда можно найти количество сторон $n$: $$ n = \frac{360^\circ}{\beta} $$ Подставим найденное значение $\beta$: $$ n = \frac{360^\circ}{18^\circ} = 20 $$

Ответ: 20.

185. Определите количество сторон правильного многоугольника, если его угол на $168^\circ$ больше смежного с ним угла.

Пусть $\alpha$ — внутренний угол правильного многоугольника, а $\beta$ — смежный с ним внешний угол.

По свойству смежных углов их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что внутренний угол на $168^\circ$ больше внешнего. Это дает нам второе уравнение:
$\alpha = \beta + 168^\circ$

Получаем систему из двух уравнений:
$\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = \beta + 168^\circ \end{array} \right.$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти величину внешнего угла $\beta$:
$(\beta + 168^\circ) + \beta = 180^\circ$
$2\beta + 168^\circ = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 168^\circ$
$2\beta = 12^\circ$
$\beta = 6^\circ$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного многоугольника с $n$ сторонами каждый внешний угол равен:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Теперь мы можем найти количество сторон $n$, подставив известное значение $\beta$:
$6^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{6^\circ}$
$n = 60$

Таким образом, у данного правильного многоугольника 60 сторон.

Ответ: 60.

186. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, вписанный в окружность, если градусная мера дуги описанной окружности, которую стягивает сторона многоугольника, равна:

1) $90^\circ$

2) $24^\circ$?

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника. Так как многоугольник правильный и вписан в окружность, его стороны стягивают равные дуги. Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$. Если $\alpha$ — градусная мера дуги, которую стягивает одна сторона многоугольника, то количество сторон $n$ можно найти, разделив $360^\circ$ на $\alpha$.

Формула для нахождения числа сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\alpha}$

1)

По условию, градусная мера дуги, которую стягивает сторона многоугольника, равна $\alpha = 90^\circ$. Найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$

Следовательно, многоугольник имеет 4 стороны (это квадрат).

Ответ: 4.

2)

По условию, градусная мера дуги, которую стягивает сторона многоугольника, равна $\alpha = 24^\circ$. Найдем количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$

Следовательно, многоугольник имеет 15 сторон.

Ответ: 15.

187. Найдите количество сторон правильного многоугольника, центральный угол которого равен:

1) $120^\circ$;

2) $72^\circ$.

Сумма всех центральных углов любого многоугольника равна $360^\circ$. В правильном n-угольнике все $n$ центральных углов равны между собой. Если обозначить количество сторон правильного многоугольника как $n$, а величину его центрального угла как $\alpha$, то их связь выражается формулой:
$ \alpha = \frac{360^\circ}{n} $
Отсюда можно выразить количество сторон $n$ через центральный угол $\alpha$:
$ n = \frac{360^\circ}{\alpha} $

Дан центральный угол $\alpha = 120^\circ$. Найдем количество сторон $n$, используя выведенную формулу:
$ n = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3 $
Следовательно, у многоугольника 3 стороны. Это правильный треугольник.
Ответ: 3

Дан центральный угол $\alpha = 72^\circ$. Найдем количество сторон $n$:
$ n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5 $
Следовательно, у многоугольника 5 сторон. Это правильный пятиугольник.
Ответ: 5