Страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

133. Найдите площадь треугольника DEF, если:

1) $DE = 7$ см, $DF = 8$ см, $\angle D = 60^\circ$;

2) $DE = 10$ см, $EF = 6$ см, $\angle E = 150^\circ$.

1) Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется формула: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – длины сторон, а $\gamma$ – угол между ними.

В данном случае нам даны стороны $DE = 7$ см и $DF = 8$ см, а также угол между ними $\angle D = 60°$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF \cdot \sin(\angle D)$

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(60°)$

Мы знаем, что значение $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда площадь равна:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{56\sqrt{3}}{4} = 14\sqrt{3}$ см².

Ответ: $14\sqrt{3}$ см².

2) Аналогично первому пункту, используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

В этом случае нам даны стороны $DE = 10$ см и $EF = 6$ см, и угол между ними $\angle E = 150°$.

Подставим значения в формулу:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EF \cdot \sin(\angle E)$

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin(150°)$

Для нахождения значения $\sin(150°)$ воспользуемся формулой приведения: $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим площадь:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{60}{4} = 15$ см².

Ответ: $15$ см².

134. Площадь треугольника $MKN$ равна $75 \, \text{см}^2$. Найдите сторону $MK$, если $KN = 15 \, \text{см}$, $\angle K = 30^\circ$.

Для нахождения стороны треугольника воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

В нашем треугольнике $MKN$ известны площадь $S = 75$ см², сторона $KN = 15$ см и угол между сторонами $MK$ и $KN$, $\angle K = 30°$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{MKN} = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot KN \cdot \sin(\angle K)$

$75 = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot 15 \cdot \sin(30°)$

Значение синуса угла $30°$ равно $\frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$75 = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot 15 \cdot \frac{1}{2}$

Упростим выражение:

$75 = \frac{15}{4} \cdot MK$

Теперь выразим и найдем длину стороны $MK$:

$MK = \frac{75 \cdot 4}{15}$

$MK = 5 \cdot 4 = 20$ (см)

Ответ: 20 см.

135. Найдите угол между данными сторонами треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12$ см, $BC = 10$ см, площадь треугольника равна $30\sqrt{3}$ см$^2$;

2) $AB = 14$ см, $AC = 8$ см, площадь треугольника равна $56$ см$^2$.

Для нахождения угла между двумя сторонами треугольника, зная их длины и площадь треугольника, используется формула площади: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

1)

В данном случае известны стороны $AB = 12$ см, $BC = 10$ см и площадь треугольника $S = 30\sqrt{3}$ см². Искомый угол — это угол $B$, лежащий между сторонами $AB$ и $BC$.

Воспользуемся формулой площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin(\angle B)$

Выполним вычисления в правой части:

$30\sqrt{3} = 6 \cdot 10 \cdot \sin(\angle B)$

$30\sqrt{3} = 60 \cdot \sin(\angle B)$

Отсюда найдем $\sin(\angle B)$:

$\sin(\angle B) = \frac{30\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол в треугольнике может быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, существуют два значения угла $B$, для которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $60^\circ$ и $120^\circ$. Оба этих значения являются возможными.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.

2)

Известны стороны $AB = 14$ см, $AC = 8$ см и площадь треугольника $S = 56$ см². Искомый угол — это угол $A$, лежащий между сторонами $AB$ и $AC$.

Применим ту же формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения:

$56 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin(\angle A)$

Выполним вычисления:

$56 = 7 \cdot 8 \cdot \sin(\angle A)$

$56 = 56 \cdot \sin(\angle A)$

Найдем $\sin(\angle A)$:

$\sin(\angle A) = \frac{56}{56} = 1$

Единственный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, синус которого равен 1, это $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

136. Площадь треугольника $ABC$ равна $18 \text{ см}^2$. Найдите угол $C$, если $AC = 8 \text{ см}$, $BC = 9 \text{ см}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$

где $S$ — площадь треугольника, $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между этими сторонами.

В нашем случае даны стороны $AC = 8$ см и $BC = 9$ см, и угол между ними — это искомый угол $C$. Площадь треугольника $ABC$ равна $18$ см².

Подставим известные значения в формулу:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(C)$

$18 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin(C)$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$18 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sin(C)$

$18 = 36 \cdot \sin(C)$

Теперь найдем значение $\sin(C)$:

$\sin(C) = \frac{18}{36}$

$\sin(C) = \frac{1}{2}$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне синус равен $\frac{1}{2}$ для двух углов:

$C_1 = 30^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Оба этих значения могут быть углом треугольника, поэтому задача имеет два возможных решения.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

137. Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 16 см и углом $15^\circ$ при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник. По условию, его боковая сторона равна 16 см, а угол при основании — $15^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, оба угла при основании равны по $15^\circ$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

В нашем случае удобно взять две боковые стороны, так как их длины известны: $a = 16$ см и $b = 16$ см. Угол $\gamma$ между ними — это угол при вершине треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - (15^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \sin(150^\circ)$.

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, находим значение $\sin(150^\circ)$:
$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Вычисляем площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot 256 = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.

138. Найдите площадь треугольника со сторонами:

1) 13 см, 14 см, 15 см;

2) 2 см, 3 см, 4 см.

Для нахождения площади треугольника, когда известны все три его стороны, удобно использовать формулу Герона.

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Полупериметр вычисляется по формуле: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

1) Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см.

Пусть $a=13$, $b=14$, $c=15$.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу Герона для вычисления площади $S$:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под ним на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

Ответ: 84 см².

2) Стороны треугольника равны 2 см, 3 см, 4 см.

Пусть $a=2$, $b=3$, $c=4$.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2}$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона. Для удобства вычислений оставим полупериметр в виде дроби:

$S = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot (\frac{9}{2}-\frac{4}{2}) \cdot (\frac{9}{2}-\frac{6}{2}) \cdot (\frac{9}{2}-\frac{8}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}}$

$S = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$ см².

Ответ: $\frac{3\sqrt{15}}{4}$ см².

139. Найдите площадь треугольника со сторонами:

1) 9 см, 10 см, 17 см;

2) 4 см, 5 см, 7 см.

1) Для нахождения площади треугольника, когда известны все три его стороны, удобно использовать формулу Герона. Формула Герона выглядит следующим образом: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a$, $b$, $c$ – это длины сторон треугольника, а $p$ – его полупериметр.

В данном случае стороны треугольника равны $a = 9$ см, $b = 10$ см, $c = 17$ см.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+10+17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь, зная полупериметр, мы можем вычислить площадь $S$ треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18 \cdot (18-9) \cdot (18-10) \cdot (18-17)}$

$S = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S = 36$ см².

Ответ: 36 см².

2) Для второго треугольника со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 7$ см, мы также применим формулу Герона.

Найдем полупериметр $p$ этого треугольника:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Далее вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8 \cdot (8-4) \cdot (8-5) \cdot (8-7)}$

$S = \sqrt{8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1} = \sqrt{96}$

Для упрощения результата разложим подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4\sqrt{6}$

Таким образом, площадь треугольника равна $4\sqrt{6}$ см².

Ответ: $4\sqrt{6}$ см².

140. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – сторона треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этой стороне. Из этой формулы можно выразить высоту: $h = \frac{2S}{a}$.

Для одного и того же треугольника его площадь $S$ является постоянной величиной. Из формулы $h = \frac{2S}{a}$ видно, что высота обратно пропорциональна длине стороны, к которой она проведена. Это означает, что наименьшая высота треугольника проведена к его наибольшей стороне.

В данном треугольнике стороны равны 13 см, 20 см и 21 см. Наибольшей стороной является сторона длиной 21 см. Следовательно, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне.

Для начала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона, так как известны все три стороны:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника, а $a, b, c$ – его стороны.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона, чтобы найти площадь $S$:
$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6}$
Разложим числа под корнем на простые множители для удобства вычисления:
$S = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^4 \cdot 7^2 \cdot 2^2} = 3^2 \cdot 7 \cdot 2 = 9 \cdot 14 = 126$ см².

3. Теперь, зная площадь и длину наибольшей стороны (21 см), найдем наименьшую высоту $h_{min}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot a_{max} \cdot h_{min}$
$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h_{min}$
$h_{min} = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

141. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 11 см, 25 см и 30 см.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2} a h_a$. Из этой формулы можно выразить высоту: $h_a = \frac{2S}{a}$.

Поскольку площадь треугольника $S$ для данного треугольника является постоянной величиной, высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Это означает, что наибольшая высота будет проведена к наименьшей стороне треугольника.

В данном треугольнике стороны равны 11 см, 25 см и 30 см. Наименьшая сторона — 11 см. Следовательно, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $a, b, c$ — его стороны.

Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{11+25+30}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Теперь вычислим площадь $S$: $S = \sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 8 \cdot 3}$

Для удобства извлечения корня разложим подкоренное выражение на множители: $S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 3 \cdot 11 \cdot 4 = 132$ см².

Теперь, зная площадь, мы можем найти наибольшую высоту $h_{max}$, которая проведена к наименьшей стороне ($a_{min} = 11$ см): $h_{max} = \frac{2S}{a_{min}} = \frac{2 \cdot 132}{11} = \frac{264}{11} = 24$ см.

Ответ: 24 см.

142. Периметр треугольника равен 32 см, а радиус вписанной окружности – 1,5 см. Найдите площадь треугольника.

Для решения этой задачи используется формула, которая связывает площадь треугольника ($S$), его полупериметр ($p$) и радиус вписанной в него окружности ($r$):

$S = p \cdot r$

По условию задачи нам даны периметр треугольника $P = 32$ см и радиус вписанной окружности $r = 1,5$ см.

1. Вычисление полупериметра

Полупериметр $p$ – это половина периметра $P$.

$p = \frac{P}{2}$

Подставим известное значение периметра:

$p = \frac{32}{2} = 16$ см

2. Вычисление площади треугольника

Теперь, зная полупериметр и радиус вписанной окружности, мы можем найти площадь треугольника, используя исходную формулу:

$S = p \cdot r$

Подставим значения $p = 16$ см и $r = 1,5$ см:

$S = 16 \cdot 1,5 = 24$ см²

Ответ: 24 см².

143. Площадь треугольника равна $84 \text{ см}^2$, а его периметр – $72 \text{ см}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник, используется формула, которая связывает площадь треугольника ($S$), его полупериметр ($p$) и радиус вписанной окружности ($r$):

$S = p \cdot r$

Из этой формулы можно выразить радиус:

$r = \frac{S}{p}$

По условию задачи нам известны площадь $S = 84 \text{ см}^2$ и периметр $P = 72 \text{ см}$.

1. Найдём полупериметр треугольника

Полупериметр $p$ — это половина периметра $P$.

$p = \frac{P}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ см}$

2. Найдём радиус вписанной окружности

Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем вычислить радиус $r$, подставив значения в формулу:

$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{36}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 12:

$r = \frac{84 \div 12}{36 \div 12} = \frac{7}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$r = 2 \frac{1}{3} \text{ см}$

Ответ: $2 \frac{1}{3}$ см.

144. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами:

1) 5 см, 5 см и 6 см;

2) 25 см, 29 см и 36 см.

1) 5 см, 5 см и 6 см;

Для нахождения радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей треугольника со сторонами $a, b, c$ воспользуемся следующими формулами:

• Площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
• Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$
• Радиус описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$

Заданы стороны треугольника: $a=5$ см, $b=5$ см, $c=6$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = 1.5$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 1.5$ см, радиус описанной окружности $R = 3.125$ см.

2) 25 см, 29 см и 36 см.

Заданы стороны треугольника: $a=25$ см, $b=29$ см, $c=36$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{25+29+36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16} = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4 = 360$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{360}{45} = 8$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{4 \cdot 360} = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{1440} = \frac{25 \cdot 29}{40} = \frac{5 \cdot 29}{8} = \frac{145}{8} = 18.125$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 8$ см, радиус описанной окружности $R = 18.125$ см.

145. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 6 см, 25 см и 29 см.

Для того чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей, нам потребуется вычислить полупериметр и площадь данного треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a = 6$ см, $b = 25$ см, $c = 29$ см.

1. Вычисление полупериметра и площади треугольника

Полупериметр ($p$) треугольника — это половина суммы длин его сторон:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+25+29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Площадь ($S$) треугольника найдем, используя формулу Герона, так как известны все три стороны:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Подставим наши значения:

$S = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см².

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности ($r$) связан с площадью и полупериметром треугольника следующей формулой:

$r = \frac{S}{p}$

Подставим вычисленные значения $S$ и $p$:

$r = \frac{60}{30} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

Радиус описанной окружности

Радиус описанной окружности ($R$) вычисляется по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставим известные длины сторон и вычисленную площадь:

$R = \frac{6 \cdot 25 \cdot 29}{4 \cdot 60} = \frac{4350}{240}$

Сократим дробь:

$R = \frac{435}{24} = \frac{145}{8} = 18,125$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен 18,125 см.

146. Найдите площадь параллелограмма по его сторонам $a$ и $b$ и углу $\alpha$ между ними, если:

1) $a = 5\sqrt{2}$ см, $b = 9$ см, $\alpha = 45^\circ$;

2) $a = 10$ см, $b = 18$ см, $\alpha = 150^\circ$.

Для нахождения площади параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними используется формула:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ и $b$ — длины сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

1)

Дано: $a = 5\sqrt{2}$ см, $b = 9$ см, $\alpha = 45^\circ$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = 5\sqrt{2} \cdot 9 \cdot \sin(45^\circ)$

Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$S = 5\sqrt{2} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 45 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 45 \cdot \frac{2}{2} = 45$ см².

Ответ: 45 см².

2)

Дано: $a = 10$ см, $b = 18$ см, $\alpha = 150^\circ$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = 10 \cdot 18 \cdot \sin(150^\circ)$

Для нахождения синуса $150^\circ$ воспользуемся формулой приведения: $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$.

$\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим площадь:

$S = 10 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 180 \cdot \frac{1}{2} = 90$ см².

Ответ: 90 см².

147. Чему равна площадь параллелограмма, стороны которого равны 7 см и 12 см, а один из углов – $120^\circ$?

Для нахождения площади параллелограмма можно воспользоваться формулой, которая использует длины двух его смежных сторон и синус угла между ними.

Формула для вычисления площади параллелограмма выглядит так: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — это длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Длина одной стороны $a = 7$ см.
Длина смежной стороны $b = 12$ см.
Один из углов параллелограмма равен $120°$. Этот угол как раз находится между заданными сторонами.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, составляет $180°$. Таким образом, если один угол равен $120°$ (тупой), то соседний с ним угол будет равен $180° - 120° = 60°$ (острый). Для расчета площади можно использовать любой из этих углов, поскольку их синусы равны: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°)$.

Найдем значение синуса для угла $120°$:
$\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим известные нам значения в формулу площади:
$S = 7 \cdot 12 \cdot \sin(120°)$
$S = 84 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 42\sqrt{3}$

Площадь параллелограмма измеряется в квадратных сантиметрах.

Ответ: $42\sqrt{3} \text{ см}^2$.

148. Найдите площадь ромба со стороной $9\sqrt{3}$ см и углом $60^{\circ}$.

Для вычисления площади ромба можно использовать формулу, связывающую его сторону и угол. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому его площадь можно найти как произведение квадрата его стороны на синус угла между сторонами.

Формула для площади ромба выглядит так: $S = a^2 \sin(\alpha)$, где $a$ — это длина стороны ромба, а $\alpha$ — угол между смежными сторонами.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
Длина стороны $a = 9\sqrt{3}$ см.
Угол $\alpha = 60°$.

Подставим эти значения в нашу формулу:
$S = (9\sqrt{3})^2 \cdot \sin(60°)$

Теперь произведем вычисления поэтапно.
1. Найдем квадрат стороны ромба:
$a^2 = (9\sqrt{3})^2 = 9^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 81 \cdot 3 = 243$ см$^2$.
2. Найдем значение синуса угла $60°$. Это табличное значение:
$\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Теперь умножим квадрат стороны на синус угла, чтобы найти площадь:
$S = 243 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{243\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Результат можно также представить в виде десятичной дроби:
$S = 121,5\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{243\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

149. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $8 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а угол между ними – $30^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади выпуклого четырёхугольника, если известны длины его диагоналей и угол между ними, применяется следующая формула:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $S$ — площадь четырёхугольника, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между этими диагоналями.

В соответствии с условием задачи, мы имеем следующие данные:
Длина первой диагонали $d_1 = 8$ см.
Длина второй диагонали $d_2 = 12$ см.
Угол между диагоналями $\alpha = 30^\circ$.

Значение синуса угла $30^\circ$ является табличным и равно $\frac{1}{2}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу для вычисления площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним умножение:

$S = \frac{1 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{96}{4} = 24$

Таким образом, площадь четырёхугольника составляет 24 см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.

150. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, диагонали которого равны $3\sqrt{3}$ см и 4 см, а угол между ними $- 60^{\circ}$.

Для нахождения площади выпуклого четырехугольника, зная длины его диагоналей и угол между ними, используется следующая формула:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — это угол между ними.

Согласно условию задачи, мы имеем:

• длина первой диагонали $d_1 = 3\sqrt{3}$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 4$ см;
• угол между диагоналями $\alpha = 60°$.

Подставим эти значения в формулу. Нам понадобится значение синуса угла 60°, которое равно $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проведем вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot (3\sqrt{3}) \cdot 4 \cdot \sin(60°) = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{4} = \frac{12 \cdot 3}{4}$

$S = \frac{36}{4} = 9$ см²

Таким образом, площадь выпуклого четырехугольника равна 9 см².

Ответ: 9 см².