Номер 138, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

138. Найдите площадь треугольника со сторонами:

1) 13 см, 14 см, 15 см;

2) 2 см, 3 см, 4 см.

Для нахождения площади треугольника, когда известны все три его стороны, удобно использовать формулу Герона.

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Полупериметр вычисляется по формуле: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

1) Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см.

Пусть $a=13$, $b=14$, $c=15$.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь подставим найденные значения в формулу Герона для вычисления площади $S$:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$

Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под ним на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

Ответ: 84 см².

2) Стороны треугольника равны 2 см, 3 см, 4 см.

Пусть $a=2$, $b=3$, $c=4$.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2}$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона. Для удобства вычислений оставим полупериметр в виде дроби:

$S = \sqrt{\frac{9}{2}(\frac{9}{2}-2)(\frac{9}{2}-3)(\frac{9}{2}-4)}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot (\frac{9}{2}-\frac{4}{2}) \cdot (\frac{9}{2}-\frac{6}{2}) \cdot (\frac{9}{2}-\frac{8}{2})}$

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}}$

$S = \frac{\sqrt{135}}{4} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$ см².

Ответ: $\frac{3\sqrt{15}}{4}$ см².