Номер 144, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

144. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами:

1) 5 см, 5 см и 6 см;

2) 25 см, 29 см и 36 см.

1) 5 см, 5 см и 6 см;

Для нахождения радиусов вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей треугольника со сторонами $a, b, c$ воспользуемся следующими формулами:

• Площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
• Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$
• Радиус описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$

Заданы стороны треугольника: $a=5$ см, $b=5$ см, $c=6$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{8} = 1.5$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 1.5$ см, радиус описанной окружности $R = 3.125$ см.

2) 25 см, 29 см и 36 см.

Заданы стороны треугольника: $a=25$ см, $b=29$ см, $c=36$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{25+29+36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16} = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4 = 360$ см².

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{360}{45} = 8$ см.

4. Найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{4 \cdot 360} = \frac{25 \cdot 29 \cdot 36}{1440} = \frac{25 \cdot 29}{40} = \frac{5 \cdot 29}{8} = \frac{145}{8} = 18.125$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности $r = 8$ см, радиус описанной окружности $R = 18.125$ см.