Номер 141, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

141. Найдите наибольшую высоту треугольника со сторонами 11 см, 25 см и 30 см.

Площадь треугольника $S$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $h_a$, проведенную к этой стороне, по формуле $S = \frac{1}{2} a h_a$. Из этой формулы можно выразить высоту: $h_a = \frac{2S}{a}$.

Поскольку площадь треугольника $S$ для данного треугольника является постоянной величиной, высота обратно пропорциональна стороне, к которой она проведена. Это означает, что наибольшая высота будет проведена к наименьшей стороне треугольника.

В данном треугольнике стороны равны 11 см, 25 см и 30 см. Наименьшая сторона — 11 см. Следовательно, нам нужно найти высоту, проведенную к этой стороне.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $a, b, c$ — его стороны.

Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{11+25+30}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Теперь вычислим площадь $S$: $S = \sqrt{33(33-11)(33-25)(33-30)} = \sqrt{33 \cdot 22 \cdot 8 \cdot 3}$

Для удобства извлечения корня разложим подкоренное выражение на множители: $S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 11^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 11 \cdot 2^2 = 3 \cdot 11 \cdot 4 = 132$ см².

Теперь, зная площадь, мы можем найти наибольшую высоту $h_{max}$, которая проведена к наименьшей стороне ($a_{min} = 11$ см): $h_{max} = \frac{2S}{a_{min}} = \frac{2 \cdot 132}{11} = \frac{264}{11} = 24$ см.

Ответ: 24 см.