Номер 135, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

135. Найдите угол между данными сторонами треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12$ см, $BC = 10$ см, площадь треугольника равна $30\sqrt{3}$ см$^2$;

2) $AB = 14$ см, $AC = 8$ см, площадь треугольника равна $56$ см$^2$.

Для нахождения угла между двумя сторонами треугольника, зная их длины и площадь треугольника, используется формула площади: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

1)

В данном случае известны стороны $AB = 12$ см, $BC = 10$ см и площадь треугольника $S = 30\sqrt{3}$ см². Искомый угол — это угол $B$, лежащий между сторонами $AB$ и $BC$.

Воспользуемся формулой площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B)$

Подставим известные значения в формулу:

$30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin(\angle B)$

Выполним вычисления в правой части:

$30\sqrt{3} = 6 \cdot 10 \cdot \sin(\angle B)$

$30\sqrt{3} = 60 \cdot \sin(\angle B)$

Отсюда найдем $\sin(\angle B)$:

$\sin(\angle B) = \frac{30\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку угол в треугольнике может быть в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, существуют два значения угла $B$, для которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: $60^\circ$ и $120^\circ$. Оба этих значения являются возможными.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.

2)

Известны стороны $AB = 14$ см, $AC = 8$ см и площадь треугольника $S = 56$ см². Искомый угол — это угол $A$, лежащий между сторонами $AB$ и $AC$.

Применим ту же формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

Подставим известные значения:

$56 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8 \cdot \sin(\angle A)$

Выполним вычисления:

$56 = 7 \cdot 8 \cdot \sin(\angle A)$

$56 = 56 \cdot \sin(\angle A)$

Найдем $\sin(\angle A)$:

$\sin(\angle A) = \frac{56}{56} = 1$

Единственный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, синус которого равен 1, это $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.