Номер 132, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

132. Найдите площадь треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 12$ см, $AC = 9$ см, $\angle A = 30^\circ$;

2) $AC = 3$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см, $\angle C = 135^\circ$.

1)

Площадь треугольника можно найти по формуле: площадь равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$

В данном случае нам известны стороны $AB = 12$ см, $AC = 9$ см и угол между ними $\angle A = 30^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \sin(30^\circ)$

Значение синуса $30^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$ (см$^2$).

Ответ: 27 см$^2$.

2)

Используем ту же формулу для нахождения площади треугольника.

Нам даны стороны $AC = 3$ см, $BC = 6\sqrt{2}$ см и угол между ними $\angle C = 135^\circ$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ)$

Найдем значение синуса $135^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим все значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{18 \cdot 2}{4} = \frac{36}{4} = 9$ (см$^2$).

Ответ: 9 см$^2$.