Номер 133, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

133. Найдите площадь треугольника DEF, если:

1) $DE = 7$ см, $DF = 8$ см, $\angle D = 60^\circ$;

2) $DE = 10$ см, $EF = 6$ см, $\angle E = 150^\circ$.

1) Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется формула: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – длины сторон, а $\gamma$ – угол между ними.

В данном случае нам даны стороны $DE = 7$ см и $DF = 8$ см, а также угол между ними $\angle D = 60°$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot DF \cdot \sin(\angle D)$

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin(60°)$

Мы знаем, что значение $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда площадь равна:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{56\sqrt{3}}{4} = 14\sqrt{3}$ см².

Ответ: $14\sqrt{3}$ см².

2) Аналогично первому пункту, используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

В этом случае нам даны стороны $DE = 10$ см и $EF = 6$ см, и угол между ними $\angle E = 150°$.

Подставим значения в формулу:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot EF \cdot \sin(\angle E)$

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin(150°)$

Для нахождения значения $\sin(150°)$ воспользуемся формулой приведения: $\sin(180° - \alpha) = \sin(\alpha)$.

$\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь вычислим площадь:

$S_{DEF} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{60}{4} = 15$ см².

Ответ: $15$ см².