Номер 7, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Чему равна площадь многоугольника, описанного около окружности?

Площадь многоугольника, описанного около окружности, вычисляется по формуле, связывающей его периметр и радиус вписанной окружности.

Для вывода этой формулы, соединим центр вписанной окружности $O$ со всеми вершинами многоугольника. В результате многоугольник разобьется на треугольники, количество которых равно количеству сторон многоугольника. Пусть стороны многоугольника равны $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основанием является одна из сторон многоугольника (например, $a_i$), а высотой, проведенной из вершины $O$ к этому основанию, является радиус вписанной окружности $r$. Это следует из того, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной (которой в данном случае является сторона многоугольника).

Площадь одного такого треугольника ($S_i$) равна половине произведения его основания на высоту:

$S_i = \frac{1}{2} a_i r$

Общая площадь многоугольника $S$ равна сумме площадей всех этих треугольников:

$S = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + \dots + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r (a_1 + a_2 + \dots + a_n)$

Сумма длин всех сторон $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ есть не что иное, как периметр многоугольника $P$. Следовательно, формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Если ввести понятие полупериметра $p = \frac{P}{2}$, то формула станет еще более компактной:

$S = p \cdot r$

Таким образом, площадь любого многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Формула: $S = p \cdot r$, где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр многоугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.