Номер 131, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

131. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = \alpha$. Докажите, что

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, следовательно, отрезок $BD$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ADB$ и $\triangle CDB$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ADB$ и $CDB$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle CDB}$

Площадь треугольника можно найти по формуле: половина произведения двух сторон на синус угла между ними.Для треугольника $ADB$ имеем стороны $AD$ и $BD$, и угол между ними $\angle ADB = \alpha$. Его площадь:

$S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin(\angle ADB) = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin \alpha$

Для треугольника $CDB$ имеем стороны $CD$ и $BD$. Углы $\angle ADB$ и $\angle CDB$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол $ADC$ на прямой $AC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle CDB = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \alpha$

Теперь найдем площадь треугольника $CDB$:

$S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin(\angle CDB) = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin(180^\circ - \alpha)$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем:

$S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin \alpha$

Теперь подставим найденные площади в формулу для площади треугольника $ABC$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADB} + S_{\triangle CDB} = \frac{1}{2} AD \cdot BD \sin \alpha + \frac{1}{2} CD \cdot BD \sin \alpha$

Вынесем общие множители за скобки:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BD \sin \alpha (AD + CD)$

Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CD$:

$AC = AD + CD$

Подставим это в выражение для площади:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BD \sin \alpha \cdot AC$

Переставив множители, получаем искомую формулу:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BD \sin \alpha$.