Номер 127, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

127. Основания трапеции равны 12 см и 16 см, а боковые стороны – 7 см и 9 см. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $AB$ и $DC$ параллельны. По условию, длины оснований равны $AB = 12$ см и $DC = 16$ см, а длины боковых сторон равны $AD = 7$ см и $BC = 9$ см.Для нахождения углов трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем из вершины $A$ прямую, параллельную боковой стороне $BC$, до пересечения с основанием $DC$ в точке $E$.

Полученный четырехугольник $ABCE$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны ($AB \parallel EC$ как части оснований трапеции, $AE \parallel BC$ по построению).Из свойств параллелограмма следует, что $AE = BC = 9$ см и $EC = AB = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADE$. Мы знаем длины всех его трех сторон:

• $AD = 7$ см (по условию).
• $AE = 9$ см (из параллелограмма $ABCE$).
• $DE = DC - EC = 16 - 12 = 4$ см.

Зная все стороны треугольника $ADE$, мы можем найти его углы с помощью теоремы косинусов.

1. Найдем угол $D$ трапеции.
Угол $D$ трапеции совпадает с углом $ADE$ треугольника $ADE$. По теореме косинусов для треугольника $ADE$:$AE^2 = AD^2 + DE^2 - 2 \cdot AD \cdot DE \cdot \cos(\angle D)$$9^2 = 7^2 + 4^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4 \cdot \cos(\angle D)$$81 = 49 + 16 - 56 \cdot \cos(\angle D)$$81 = 65 - 56 \cdot \cos(\angle D)$$56 \cdot \cos(\angle D) = 65 - 81$$56 \cdot \cos(\angle D) = -16$$\cos(\angle D) = -\frac{16}{56} = -\frac{2}{7}$Следовательно, угол $D$ равен $\arccos(-\frac{2}{7})$.

2. Найдем угол $C$ трапеции.
Сначала найдем угол $AED$ в треугольнике $ADE$ по теореме косинусов:$AD^2 = AE^2 + DE^2 - 2 \cdot AE \cdot DE \cdot \cos(\angle AED)$$7^2 = 9^2 + 4^2 - 2 \cdot 9 \cdot 4 \cdot \cos(\angle AED)$$49 = 81 + 16 - 72 \cdot \cos(\angle AED)$$49 = 97 - 72 \cdot \cos(\angle AED)$$72 \cdot \cos(\angle AED) = 97 - 49$$72 \cdot \cos(\angle AED) = 48$$\cos(\angle AED) = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$Поскольку $AE \parallel BC$ и $DC$ является секущей, углы $\angle AED$ и $\angle BCD$ (угол $C$) являются соответственными. Следовательно, $\angle C = \angle AED$.Таким образом, $\cos(\angle C) = \frac{2}{3}$, и угол $C$ равен $\arccos(\frac{2}{3})$.

3. Найдем углы $A$ и $B$ трапеции.
В трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$.Для боковой стороны $AD$:$\angle A + \angle D = 180^\circ$$\angle A = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \arccos(-\frac{2}{7})$Используя свойство $\arccos(-x) = 180^\circ - \arccos(x)$, получаем $\angle A = \arccos(\frac{2}{7})$.Для боковой стороны $BC$:$\angle B + \angle C = 180^\circ$$\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - \arccos(\frac{2}{3})$$\angle B = \arccos(-\frac{2}{3})$.

Таким образом, мы нашли все четыре угла трапеции.
Ответ: Углы трапеции равны $\arccos(\frac{2}{3})$, $\arccos(-\frac{2}{3})$, $\arccos(\frac{2}{7})$ и $\arccos(-\frac{2}{7})$.