Номер 128, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

128. Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M$, а продолжение стороны $CD$ за точку $D$ – в точке $K$. Найдите отрезок $DK$, если $AM = 8$ см, а периметр параллелограмма равен $50$ см.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$. Биссектриса угла $B$, которую обозначим $BK$, пересекает сторону $AD$ в точке $M$ и продолжение стороны $CD$ в точке $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABM$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Прямая $BK$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $∠CBM$ и $∠AMB$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $∠CBM = ∠AMB$.

2. Так как $BM$ — биссектриса угла $B$, то $∠ABM = ∠CBM$. Из двух предыдущих равенств следует, что $∠ABM = ∠AMB$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $BM$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = AM$.

3. По условию задачи дано, что $AM = 8$ см. Значит, сторона параллелограмма $AB = 8$ см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = 8$ см.

4. Периметр параллелограмма равен $P = 2(AB + AD)$. По условию $P = 50$ см. Подставим известные значения:
$50 = 2(8 + AD)$
$25 = 8 + AD$
$AD = 25 - 8 = 17$ см.

5. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD = 17$ см.

6. Теперь рассмотрим треугольник $KBC$. Стороны $AB$ и $CK$ (продолжение стороны $CD$) параллельны ($AB \parallel CK$). Прямая $BK$ является для них секущей. Углы $∠ABK$ и $∠CKB$ являются накрест лежащими, значит, они равны: $∠ABK = ∠CKB$.

7. Так как $BK$ — биссектриса угла $B$, то $∠ABK = ∠CBK$. Из равенств в пунктах 6 и 7 следует, что $∠CBK = ∠CKB$. Это означает, что треугольник $KBC$ является равнобедренным с основанием $BK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $KC = BC$.

8. Из пункта 5 мы знаем, что $BC = 17$ см, значит, $KC = 17$ см.

9. Точка $K$ лежит на продолжении стороны $CD$ за точку $D$. Таким образом, отрезок $KC$ состоит из отрезков $CD$ и $DK$: $KC = CD + DK$. Мы знаем, что $KC = 17$ см и $CD = 8$ см. Подставим эти значения в равенство:
$17 = 8 + DK$
$DK = 17 - 8 = 9$ см.

Ответ: $DK = 9$ см.