Номер 129, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

129. Периметр одного из двух подобных треугольников на 18 см меньше периметра другого треугольника, а наибольшие стороны этих треугольников равны 5 см и 8 см. Найдите периметры данных треугольников.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры двух подобных треугольников, а $a_1$ и $a_2$ — их наибольшие стороны. Согласно условию, $a_1 = 5$ см и $a_2 = 8$ см. Поскольку $a_2 > a_1$, то и периметр треугольника с большей стороной ($P_2$) будет больше периметра другого треугольника ($P_1$). Их разность равна 18 см, что можно записать в виде уравнения: $P_2 - P_1 = 18$.

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон, то есть коэффициенту подобия $k$. В данном случае наибольшие стороны являются соответственными. Найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{5}$

Следовательно, отношение периметров также равно $\frac{8}{5}$:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{8}{5}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

1) $P_2 - P_1 = 18$

2) $\frac{P_2}{P_1} = \frac{8}{5}$

Из второго уравнения выразим $P_2$ через $P_1$: $P_2 = \frac{8}{5}P_1$.

Подставим это выражение в первое уравнение и решим его относительно $P_1$:

$\frac{8}{5}P_1 - P_1 = 18$

$P_1(\frac{8}{5} - 1) = 18$

$P_1(\frac{8}{5} - \frac{5}{5}) = 18$

$P_1(\frac{3}{5}) = 18$

$P_1 = 18 \cdot \frac{5}{3}$

$P_1 = 30$ см.

Теперь, зная $P_1$, найдем $P_2$ из первого уравнения:

$P_2 = P_1 + 18 = 30 + 18 = 48$ см.

Ответ: периметры данных треугольников равны 30 см и 48 см.