Номер 125, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

125. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 20$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) медиану $CM$;

3) биссектрису $AD$;

4) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = 20$ см, он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle C = \angle A = 70^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$ равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

1) сторону AC;

Для нахождения стороны $AC$ можно воспользоваться теоремой синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)}$

Выразим сторону $AC$:

$AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{20 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}$

Используя приближенные значения синусов: $\sin(40^\circ) \approx 0.6428$, $\sin(70^\circ) \approx 0.9397$.

$AC \approx \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9397} \approx 13.68$ см.

Другой способ — провести высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем катет $AH$ равен:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 20 \cdot \cos(70^\circ)$.

Так как $H$ — середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 20 \cdot \cos(70^\circ) = 40 \cos(70^\circ)$.

Используя приближенное значение косинуса: $\cos(70^\circ) \approx 0.3420$.

$AC \approx 40 \cdot 0.3420 = 13.68$ см.

Ответ: $AC = 40 \cos(70^\circ) \approx 13.68$ см.

2) медиану CM;

Медиана $CM$ проведена к стороне $AB$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см. Для нахождения длины медианы $CM$ применим теорему косинусов к треугольнику $AMC$. В этом треугольнике известны две стороны $AC \approx 13.68$ см, $AM = 10$ см и угол между ними $\angle A = 70^\circ$.

$CM^2 = AC^2 + AM^2 - 2 \cdot AC \cdot AM \cdot \cos(\angle A)$

Подставим значения, используя точное выражение для $AC$:

$CM^2 = (40 \cos(70^\circ))^2 + 10^2 - 2 \cdot (40 \cos(70^\circ)) \cdot 10 \cdot \cos(70^\circ)$

$CM^2 = 1600 \cos^2(70^\circ) + 100 - 800 \cos^2(70^\circ)$

$CM^2 = 100 + 800 \cos^2(70^\circ)$

$CM = \sqrt{100 + 800 \cos^2(70^\circ)} \approx \sqrt{100 + 800 \cdot (0.3420)^2} \approx \sqrt{100 + 93.58} \approx \sqrt{193.58} \approx 13.91$ см.

Ответ: $CM = \sqrt{100 + 800 \cos^2(70^\circ)} \approx 13.91$ см.

3) биссектрису AD;

Биссектриса $AD$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle BAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известна сторона $AB = 20$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle B = 40^\circ$ и $\angle BAD = 35^\circ$. Найдем третий угол этого треугольника:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

$AD = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle ADB)} = \frac{20 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$

Используя приближенные значения синусов: $\sin(40^\circ) \approx 0.6428$, $\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) \approx 0.9659$.

$AD \approx \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9659} \approx 13.31$ см.

Ответ: $AD = \frac{20 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)} \approx 13.31$ см.

4) радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Радиус $R$ описанной окружности найдем с помощью следствия из теоремы синусов:

$2R = \frac{a}{\sin A}$

Возьмем сторону $BC = 20$ см и противолежащий ей угол $\angle A = 70^\circ$:

$2R = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{20}{\sin(70^\circ)}$

Отсюда радиус $R$ равен:

$R = \frac{20}{2 \sin(70^\circ)} = \frac{10}{\sin(70^\circ)}$

Используя приближенное значение $\sin(70^\circ) \approx 0.9397$.

$R \approx \frac{10}{0.9397} \approx 10.64$ см.

Ответ: $R = \frac{10}{\sin(70^\circ)} \approx 10.64$ см.