Номер 5, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Как можно найти площадь треугольника, если известны его полупериметр и радиус вписанной окружности?

Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле:

$S = pr$

где $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы, связывающей её с полупериметром и радиусом вписанной окружности. Выведем эту формулу.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Пусть $O$ — центр вписанной в него окружности, а $r$ — радиус этой окружности.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A, B, C$. Это разделит исходный треугольник $ABC$ на три треугольника: $AOB$, $BOC$ и $COA$. Площадь треугольника $ABC$ будет равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABC} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Известно, что радиус, проведенный в точку касания окружности и стороны треугольника, перпендикулярен этой стороне. Следовательно, радиус $r$ является высотой для каждого из трех малых треугольников, опущенной из вершины $O$ на соответствующую сторону треугольника $ABC$.

Площадь каждого из этих треугольников вычисляется как половина произведения основания на высоту:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$
$S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_{COA} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

Теперь сложим площади этих треугольников, чтобы найти общую площадь $S$ треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$

Выражение в скобках $(a+b+c)$ является периметром треугольника. Полупериметр $p$ по определению равен половине периметра:
$p = \frac{a+b+c}{2}$

Из этого следует, что $a+b+c = 2p$. Подставим это значение в нашу формулу для площади:
$S = \frac{1}{2}r \cdot (2p) = p \cdot r$

Таким образом, мы получили искомую формулу.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) можно найти как произведение его полупериметра ($p$) на радиус вписанной окружности ($r$). Формула для вычисления: $S = p \cdot r$.