Номер 3, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Как можно найти площадь треугольника, если известны три его стороны и радиус описанной окружности?

Для нахождения площади треугольника, зная длины трех его сторон ($a, b, c$) и радиус описанной окружности ($R$), можно использовать формулу, которая связывает все эти величины.

Вывод этой формулы основан на двух известных теоремах геометрии:

1. Площадь треугольника ($S$) можно выразить через произведение двух его сторон и синус угла между ними. Например, для сторон $a$ и $b$ и угла $\gamma$ между ними:

   $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$

2. Согласно следствию из теоремы синусов, отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):

   $\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$

Из второго соотношения выразим синус угла $\gamma$:

$\sin \gamma = \frac{c}{2R}$

Теперь подставим это выражение для $\sin \gamma$ в формулу площади из первого пункта:

$S = \frac{1}{2}ab \left(\frac{c}{2R}\right)$

Упростив это выражение, мы получаем искомую формулу:

$S = \frac{abc}{4R}$

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника, нужно перемножить длины всех трех его сторон и разделить полученное произведение на учетверенный радиус описанной окружности.

Стоит отметить, что для вычисления площади по этой формуле знание всех трех сторон и радиуса является избыточным, так как радиус описанной окружности можно однозначно определить, зная только три стороны. Однако если все эти данные уже известны, данный способ является наиболее прямым.

Ответ: Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле $S = \frac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $R$ – радиус описанной окружности.