Страница 42 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

176. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны;

2) если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны также равны;

3) если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы также равны;

4) если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны?

1) если все стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его углы также равны;

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, вписанный в окружность. По условию, все его стороны равны: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$. В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуги, на которые опираются стороны многоугольника, равны: $\cup A_1A_2 = \cup A_2A_3 = ... = \cup A_nA_1$.

Каждый угол вписанного многоугольника, например, угол $\angle A_k$ при вершине $A_k$, является вписанным углом. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle A_k = \angle A_{k-1}A_k A_{k+1}$ опирается на дугу, которая является объединением всех дуг, стягиваемых сторонами, кроме $\cup A_{k-1}A_k$ и $\cup A_kA_{k+1}$.

Например, угол $\angle A_1$ опирается на дугу $\cup A_2A_3...A_n$, которая является суммой $(n-2)$ дуг: $\cup A_2A_3 + \cup A_3A_4 + ... + \cup A_{n-1}A_n$. Угол $\angle A_2$ опирается на дугу $\cup A_3A_4...A_1$, которая является суммой $(n-2)$ дуг: $\cup A_3A_4 + ... + \cup A_nA_1$.

Поскольку все малые дуги $\cup A_iA_{i+1}$ равны, то и суммы из $(n-2)$ таких дуг также будут равны. Следовательно, все дуги, на которые опираются углы многоугольника, равны. А значит, равны и сами вписанные углы, так как они составляют половину от равных дуг. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) если все углы многоугольника, вписанного в окружность, равны, то и все его стороны также равны;

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, вписанный в окружность, и все его углы равны: $\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$. Так как это вписанные углы, то дуги, на которые они опираются, также должны быть равны.

Угол $\angle A_1$ опирается на дугу $\cup A_2A_3...A_n$. Угол $\angle A_2$ опирается на дугу $\cup A_3A_4...A_1$. Из равенства углов $\angle A_1 = \angle A_2$ следует равенство дуг: $\cup A_2A_3...A_n = \cup A_3A_4...A_1$.

Запишем эти дуги как суммы малых дуг: $(\cup A_2A_3 + \cup A_3A_4 + ... + \cup A_{n-1}A_n) = (\cup A_3A_4 + ... + \cup A_nA_1)$. Вычитая из обеих частей равенства общую дугу $\cup A_3A_4 + ... + \cup A_{n-1}A_n$, получаем $\cup A_2A_3 = \cup A_nA_1$.

Аналогично, из равенства $\angle A_2 = \angle A_3$ следует, что $\cup A_3A_4 = \cup A_1A_2$.

Продолжая этот процесс для всех пар соседних равных углов, мы получим, что все дуги, стягиваемые сторонами многоугольника, равны между собой: $\cup A_1A_2 = \cup A_2A_3 = ... = \cup A_nA_1$.

В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Хорды в данном случае являются сторонами многоугольника. Следовательно, все стороны многоугольника равны: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) если все стороны многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его углы также равны;

Данное утверждение неверно. Для его опровержения достаточно привести контрпример.

Рассмотрим ромб, который не является квадратом. У ромба все стороны равны по определению. В любой ромб можно вписать окружность, так как у него суммы длин противоположных сторон равны (если сторона ромба равна $a$, то $a+a = a+a$). Однако у ромба, который не является квадратом, углы не равны. Например, у ромба могут быть углы $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Таким образом, существует многоугольник (ромб), у которого все стороны равны и который описан около окружности, но углы которого не равны. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) если все углы многоугольника, описанного около окружности, равны, то и все его стороны также равны?

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, описанный около окружности с центром $O$ и радиусом $r$. По условию, все его углы равны: $\angle A_1 = \angle A_2 = ... = \angle A_n$. Такой многоугольник является равноугольным.

Пусть $T_1, T_2, ..., T_n$ — точки касания окружности со сторонами $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. Отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами многоугольника ($OA_1, OA_2, ...$), являются биссектрисами его углов. Так как все углы многоугольника равны, то и их половины равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные радиусами, проведенными в точки касания, и отрезками от вершин до этих точек. Например, $\triangle OT_1A_2$ — прямоугольный, так как радиус $OT_1$ перпендикулярен касательной $A_1A_2$. В этом треугольнике катет $OT_1 = r$, а противолежащий ему угол $\angle OA_2T_1$ равен половине угла $\angle A_2$. Отрезок касательной $A_2T_1$ равен $r \cdot \text{ctg}(\angle OA_2T_1) = r \cdot \text{ctg}(\frac{\angle A_2}{2})$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от одной вершины до точек касания равны: $A_k T_{k-1} = A_k T_k$. Для любой вершины $A_k$ длина этого отрезка равна $r \cdot \text{ctg}(\frac{\angle A_k}{2})$.

Поскольку все углы $\angle A_k$ равны, то и все величины $r \cdot \text{ctg}(\frac{\angle A_k}{2})$ равны. Следовательно, все отрезки касательных от вершин до точек касания равны между собой. Обозначим длину такого отрезка через $x$.

Сторона многоугольника $A_k A_{k+1}$ равна сумме двух таких отрезков: $A_k A_{k+1} = A_k T_k + T_k A_{k+1}$. Так как $A_k T_k = x$ и $A_{k+1} T_k = x$, то длина каждой стороны равна $x+x = 2x$.

Таким образом, все стороны многоугольника равны. Утверждение верно.

Ответ: Верно.