Страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

163. Отрезок $AD$ – биссектриса треугольника $ABC$, $AB = 6$ см, $AC = 8$ см, $\angle BAC = 120^\circ$. Найдите биссектрису $AD$.

Для нахождения длины биссектрисы $AD$ воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ADC$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

1. Запишем формулу площади для треугольника $ABC$ через стороны $AB$ и $AC$ и угол $\angle BAC$ между ними:$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$Подставим известные значения: $AB = 6$ см, $AC = 8$ см, $\angle BAC = 120^{\circ}$.$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(120^{\circ}) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, она делит его на два равных угла:$\angle BAD = \angle CAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$.

3. Обозначим искомую длину биссектрисы $AD$ через $l$. Теперь выразим площади треугольников $ABD$ и $ADC$:$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot l \cdot \sin(60^{\circ}) = 3l\frac{\sqrt{3}}{2}$.$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot l \cdot \sin(60^{\circ}) = 4l\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Составим уравнение, исходя из того, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC}$$12\sqrt{3} = 3l\frac{\sqrt{3}}{2} + 4l\frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Решим уравнение относительно $l$:$12\sqrt{3} = (3l + 4l)\frac{\sqrt{3}}{2}$$12\sqrt{3} = 7l\frac{\sqrt{3}}{2}$Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:$12 = \frac{7l}{2}$Умножим обе части на 2:$24 = 7l$$l = \frac{24}{7}$ см.

Ответ: $\frac{24}{7}$ см.

164. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны – 13 см и 37 см.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию, основания трапеции равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см. Обозначим трапецию как ABCD, где $BC = 10$ см и $AD = 50$ см — основания, а $AB = 13$ см и $CD = 37$ см — боковые стороны.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. Длина этих высот равна $h$, то есть $BH = CK = h$.

Фигура HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Большее основание AD состоит из трех отрезков: AH, HK и KD. Таким образом, $AD = AH + HK + KD$. Подставив известные значения, получим: $50 = AH + 10 + KD$, откуда следует, что $AH + KD = 40$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате построения: $\triangle ABH$ и $\triangle CKD$. Применим к ним теорему Пифагора.

Для $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Подставим значения: $13^2 = AH^2 + h^2$, откуда $h^2 = 169 - AH^2$.

Для $\triangle CKD$: $CD^2 = KD^2 + CK^2$. Подставим значения: $37^2 = KD^2 + h^2$, откуда $h^2 = 1369 - KD^2$.

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($h^2$), мы можем приравнять их правые части:

$169 - AH^2 = 1369 - KD^2$

Перенесем члены, чтобы сгруппировать известные и неизвестные:

$KD^2 - AH^2 = 1369 - 169$

$KD^2 - AH^2 = 1200$

Применим формулу разности квадратов $(KD-AH)(KD+AH) = 1200$.

Ранее мы нашли, что $AH + KD = 40$. Подставим это значение в уравнение:

$(KD-AH) \cdot 40 = 1200$

$KD-AH = \frac{1200}{40} = 30$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными AH и KD:

$KD + AH = 40$

$KD - AH = 30$

Сложив эти два уравнения, получим: $2 \cdot KD = 70$, откуда $KD = 35$ см. Подставив это значение в первое уравнение, найдем AH: $35 + AH = 40$, откуда $AH = 5$ см.

Теперь мы можем найти высоту $h$, используя любое из ранее полученных выражений для $h^2$. Возьмем $h^2 = 169 - AH^2$:

$h^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Наконец, вычислим площадь трапеции по исходной формуле:

$S = \frac{10 + 50}{2} \cdot 12 = \frac{60}{2} \cdot 12 = 30 \cdot 12 = 360$ см².

Ответ: 360 см².

165. Основания трапеции равны 4 см и 5 см, а диагонали – 7 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию задачи имеем: меньшее основание $BC = 4$ см, большее основание $AD = 5$ см, диагонали $AC = 7$ см и $BD = 8$ см.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную диагонали $BD$, до пересечения с продолжением основания $AD$ в точке $E$.

В полученном четырехугольнике $BCED$ стороны $BC$ и $DE$ параллельны (как лежащие на параллельных прямых, содержащих основания трапеции), а стороны $BD$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $BCED$ — параллелограмм. Из этого следует, что $DE = BC = 4$ см и $CE = BD = 8$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Длины его сторон равны:
$AC = 7$ см (дано по условию);
$CE = BD = 8$ см (как противоположные стороны параллелограмма);
$AE = AD + DE = 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9$ см.

Площадь трапеции $ABCD$ равна площади полученного треугольника $ACE$. Докажем это. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции. Площадь треугольника $ACE$ вычисляется как $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} AE \cdot h$. Так как $AE = AD + DE$ и $DE=BC$, то $S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} (AD + BC) \cdot h$. Таким образом, $S_{ABCD} = S_{\triangle ACE}$.

Найдем площадь треугольника $ACE$ со сторонами 7, 8 и 9 см по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.
Вычислим полупериметр треугольника $ACE$:
$p = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:
$S_{\triangle ACE} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{(12 \cdot 12) \cdot 5} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}$ см².

Поскольку площадь трапеции равна площади треугольника $ACE$, то искомая площадь трапеции составляет $12\sqrt{5}$ см².

Ответ: $12\sqrt{5}$ см².

166. Отрезки $BM$ и $CK$ – высоты остроугольного треугольника $ABC$, $\angle A = 45^\circ$. Найдите отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$.

Для нахождения отношения площадей треугольников $AMK$ и $ABC$ воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Треугольники $AMK$ и $ABC$ имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $ABC$ выражается как $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь треугольника $AMK$ выражается как $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin(\angle A)$.

Найдем отношение их площадей:

По условию, $BM$ и $CK$ — высоты треугольника $ABC$, поэтому $BM \perp AC$ и $CK \perp AB$. Это означает, что треугольники $AMB$ и $AKC$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMB$ ($\angle AMB = 90^\circ$). Катет $AM$ и гипотенуза $AB$ связаны соотношением:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ ($\angle AKC = 90^\circ$). Катет $AK$ и гипотенуза $AC$ связаны соотношением:

Подставим полученные выражения для $AM$ и $AK$ в формулу для отношения площадей:

Из условия задачи известно, что $\angle A = 45^\circ$. Подставим это значение в полученную формулу:

Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

Ответ: отношение площадей треугольников $AMK$ и $ABC$ равно $\frac{1}{2}$.

167. Стороны треугольника равны 39 см, 41 см и 50 см. Найдите радиус окружности, центр которой принадлежит большей стороне треугольника и которая касается двух других сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a=39$ см, $b=41$ см и $c=50$ см. По условию, центр $O$ искомой окружности принадлежит большей стороне, то есть стороне $c=AB=50$ см. Также окружность касается двух других сторон, $AC$ ($b=41$ см) и $BC$ ($a=39$ см).

Если точка (центр окружности $O$) равноудалена от двух пересекающихся прямых (сторон $AC$ и $BC$), то она лежит на биссектрисе угла, образованного этими прямыми. В данном случае, центр $O$ лежит на биссектрисе угла $C$.

Радиус окружности $r$ — это перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на касательную сторону. Таким образом, $r$ является высотой для треугольников $AOC$ (к стороне $AC$) и $BOC$ (к стороне $BC$).

Площадь всего треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей треугольников $AOC$ и $BOC$: $S_{ABC} = S_{AOC} + S_{BOC}$

Выразим площади этих треугольников через радиус $r$: $S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot r$ $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot r$

Тогда площадь всего треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 41 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot r = \frac{1}{2} r (41 + 39) = \frac{1}{2} r \cdot 80 = 40r$ Отсюда мы можем выразить радиус: $r = \frac{S_{ABC}}{40}$

Для нахождения радиуса $r$ необходимо вычислить площадь треугольника $ABC$. Поскольку известны все три стороны, воспользуемся формулой Герона. Сначала найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{39+41+50}{2} = \frac{130}{2} = 65$ см.

Теперь вычислим площадь $S_{ABC}$ по формуле Герона: $S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $S_{ABC} = \sqrt{65(65-39)(65-41)(65-50)} = \sqrt{65 \cdot 26 \cdot 24 \cdot 15}$

Разложим подкоренное выражение на простые множители для удобства вычисления: $S_{ABC} = \sqrt{(5 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 13) \cdot (2^3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 13^2}$ $S_{ABC} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 15 \cdot 13 = 60 \cdot 13 = 780$ см².

Теперь, зная площадь, можем найти радиус $r$: $r = \frac{S_{ABC}}{40} = \frac{780}{40} = \frac{78}{4} = 19.5$ см.

Ответ: 19,5 см.

168. Вершины треугольника соединены с центром вписанной в него окружности. Проведённые отрезки разбивают данный треугольник на треугольники, площади которых равны $26 \text{ см}^2$, $28 \text{ см}^2$ и $30 \text{ см}^2$. Найдите стороны данного треугольника.

Пусть стороны исходного треугольника равны $a, b, c$. Центр вписанной окружности, обозначим его $O$, является точкой пересечения биссектрис и равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны равно радиусу вписанной окружности $r$.

Отрезки, соединяющие вершины треугольника с центром $O$, разбивают его на три меньших треугольника. Площади этих треугольников можно вычислить по формуле "половина произведения основания на высоту". В данном случае основаниями являются стороны $a, b, c$ исходного треугольника, а высотой для каждого из них, проведенной из вершины $O$, является радиус вписанной окружности $r$.

Пусть площади этих трех треугольников равны $S_1 = 26 \text{ см}^2$, $S_2 = 28 \text{ см}^2$ и $S_3 = 30 \text{ см}^2$. Тогда мы можем записать:$S_1 = \frac{1}{2} a \cdot r = 26$$S_2 = \frac{1}{2} b \cdot r = 28$$S_3 = \frac{1}{2} c \cdot r = 30$

Из этих соотношений выразим стороны треугольника $a, b, c$ через радиус $r$:$a = \frac{2 \cdot 26}{r} = \frac{52}{r}$$b = \frac{2 \cdot 28}{r} = \frac{56}{r}$$c = \frac{2 \cdot 30}{r} = \frac{60}{r}$

Площадь исходного треугольника $S$ равна сумме площадей трех меньших треугольников:$S = S_1 + S_2 + S_3 = 26 + 28 + 30 = 84 \text{ см}^2$.

Для нахождения сторон нам нужно найти значение $r$. Для этого воспользуемся формулой Герона для площади треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{52}{r} + \frac{56}{r} + \frac{60}{r} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52+56+60}{r} = \frac{168}{2r} = \frac{84}{r}$.

Теперь найдем выражения для разностей $(p-a), (p-b), (p-c)$:$p-a = \frac{84}{r} - \frac{52}{r} = \frac{32}{r}$$p-b = \frac{84}{r} - \frac{56}{r} = \frac{28}{r}$$p-c = \frac{84}{r} - \frac{60}{r} = \frac{24}{r}$

Подставим все полученные значения в формулу Герона:$S = \sqrt{\frac{84}{r} \cdot \frac{32}{r} \cdot \frac{28}{r} \cdot \frac{24}{r}} = \sqrt{\frac{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}{r^4}}$Так как $S = 84$, получаем уравнение:$84 = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{r^2}$

Решим это уравнение относительно $r^2$:$r^2 = \frac{\sqrt{84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24}}{84}$Вычислим значение подкоренного выражения:$84 \cdot 32 \cdot 28 \cdot 24 = (2^2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2^5) \cdot (2^2 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^{12} \cdot 3^2 \cdot 7^2 = (2^6 \cdot 3 \cdot 7)^2 = 1344^2$.Тогда $\sqrt{1344^2} = 1344$.$r^2 = \frac{1344}{84} = 16$Отсюда, так как радиус должен быть положительным, $r = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь, зная радиус $r$, мы можем найти длины сторон треугольника:$a = \frac{52}{r} = \frac{52}{4} = 13 \text{ см}$$b = \frac{56}{r} = \frac{56}{4} = 14 \text{ см}$$c = \frac{60}{r} = \frac{60}{4} = 15 \text{ см}$

Ответ: стороны данного треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см.

169. Докажите, что $ \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r} $, где $ h_1 $, $ h_2 $ и $ h_3 $ – высоты треугольника, $ r $ – радиус вписанной окружности.

Для доказательства данного равенства воспользуемся двумя различными формулами для вычисления площади треугольника $S$.

Пусть $a, b, c$ – стороны треугольника, а $h_1, h_2, h_3$ – высоты, проведенные к этим сторонам соответственно.

С одной стороны, площадь треугольника можно выразить через длину стороны и высоту, проведенную к этой стороне:
$S = \frac{1}{2} a h_1$
$S = \frac{1}{2} b h_2$
$S = \frac{1}{2} c h_3$

Из этих формул выразим величины, обратные высотам:
$\frac{1}{h_1} = \frac{a}{2S}$
$\frac{1}{h_2} = \frac{b}{2S}$
$\frac{1}{h_3} = \frac{c}{2S}$

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти сумму, стоящую в левой части доказываемого равенства:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2S} + \frac{b}{2S} + \frac{c}{2S} = \frac{a+b+c}{2S}$

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности $r$ и его полупериметр $p$:
$S = p \cdot r$, где полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Из этой формулы выразим величину, обратную радиусу, которая стоит в правой части доказываемого равенства:
$\frac{1}{r} = \frac{p}{S}$

Подставим в это выражение формулу полупериметра:
$\frac{1}{r} = \frac{(a+b+c)/2}{S} = \frac{a+b+c}{2S}$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей исходного равенства, мы видим, что они равны:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a+b+c}{2S}$
$\frac{1}{r} = \frac{a+b+c}{2S}$
Следовательно, $\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{1}{r}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

170. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит его угол в отношении $4 : 5$. Определите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на диагональ $AC$. По условию, перпендикуляр $BH$ делит прямой угол $\angle ABC$ на два угла, $\angle ABH$ и $\angle CBH$, в отношении $4:5$.

Сумма этих углов равна углу прямоугольника, то есть $90^\circ$.
$\angle ABH + \angle CBH = 90^\circ$
Пусть одна часть составляет $x$ градусов, тогда углы равны $4x$ и $5x$. Составим уравнение:
$4x + 5x = 90^\circ$
$9x = 90^\circ$
$x = 10^\circ$
Следовательно, один угол равен $4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$, а другой $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$. Для дальнейшего решения неважно, какой из углов больше, но для определенности положим, что $\angle ABH = 40^\circ$ и $\angle CBH = 50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $BH$ - перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Теперь проведем вторую диагональ $BD$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO = CO$. Это означает, что треугольник $\triangle BOC$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ углы при основании $BC$ равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Так как $\angle OCB$ это тот же угол, что и $\angle BCH$, то $\angle OBC = 40^\circ$.

Искомый угол — это угол между перпендикуляром $BH$ и другой диагональю $BD$, то есть $\angle HBD$. Этот угол можно найти как разность между углом $\angle CBH$ и углом $\angle CBO$ (так как луч $BO$ проходит между сторонами угла $\angle CBH$).
$\angle HBD = \angle CBH - \angle CBO = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$

171. Средняя линия $MK$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 56 см. Через середину $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $CD$ и пересекает основание $AD$ в точке $E$ так, что $AE : ED = 5 : 8$. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. $MK$ - средняя линия трапеции, $M$ - середина $AB$, $K$ - середина $CD$. По условию, $MK = 56$ см.

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований: $MK = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим известное значение длины средней линии: $56 = \frac{BC + AD}{2}$

Отсюда найдем сумму оснований трапеции: $BC + AD = 56 \cdot 2 = 112$ см.

Построим дополнительно прямую через вершину $B$, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $P$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDP$. В нем $BC \parallel PD$ (так как лежат на параллельных прямых $BC$ и $AD$) и $BP \parallel CD$ (по построению). Следовательно, $BCDP$ - параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $BC = PD$ и $BP = CD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABP$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по условию. Через точку $M$ проведена прямая, пересекающая сторону $AD$ в точке $E$. По условию, эта прямая параллельна стороне $CD$. Так как $BP \parallel CD$, то и $ME \parallel BP$.

Согласно теореме Фалеса, если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. В треугольнике $ABP$ прямая $ME$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и параллельна стороне $BP$, следовательно, она пересекает сторону $AP$ в ее середине, то есть в точке $E$. Таким образом, $E$ - середина отрезка $AP$, и $AE = EP$.

Основание $AD$ можно представить как сумму отрезков: $AD = AP + PD$. Так как $AP = AE + EP$ и $AE = EP$, то $AP = 2 \cdot AE$. Также мы установили, что $PD = BC$. Подставив эти выражения, получим: $AD = 2 \cdot AE + BC$.

Из условия задачи известно соотношение $AE : ED = 5 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AE = 5x$ и $ED = 8x$.

Длина всего основания $AD$ равна $AD = AE + ED = 5x + 8x = 13x$.

Теперь подставим выражения для $AD$ и $AE$ через $x$ в равенство $AD = 2 \cdot AE + BC$: $13x = 2 \cdot (5x) + BC$ $13x = 10x + BC$ $BC = 13x - 10x = 3x$.

Мы получили выражения для длин обоих оснований через $x$. Теперь используем найденную ранее сумму оснований: $BC + AD = 112$ $3x + 13x = 112$ $16x = 112$ $x = \frac{112}{16} = 7$.

Найдем длины оснований: Меньшее основание $BC = 3x = 3 \cdot 7 = 21$ см. Большее основание $AD = 13x = 13 \cdot 7 = 91$ см.

Ответ: основания трапеции равны 21 см и 91 см.

172. Отрезок $CD$ – биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $D$ проведена прямая, которая параллельна прямой $AC$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Найдите отрезок $DE$, если $AC = 16$ см, $BC = 24$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $CD$ — биссектриса угла $C$, и через точку $D$ проведена прямая, параллельная $AC$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $E$. Нам даны длины сторон $AC = 16$ см и $BC = 24$ см. Необходимо найти длину отрезка $DE$.

1. Поскольку прямая $DE$ параллельна прямой $AC$ по условию ($DE \parallel AC$), а $CD$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle CDE = \angle ACD$.

2. Так как $CD$ — биссектриса угла $C$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD$. Поскольку точка $E$ лежит на стороне $BC$, то $\angle BCD$ можно также обозначить как $\angle ECD$. Таким образом, $\angle ACD = \angle ECD$.

3. Из равенств, полученных в пунктах 1 и 2, следует, что $\angle CDE = \angle ECD$.

4. Рассмотрим треугольник $CDE$. Так как в нём два угла равны ($\angle CDE = \angle ECD$), то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $DE = CE$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $BDE$ и $BAC$. Так как $DE \parallel AC$, то по теореме о подобных треугольниках, треугольник $BDE$ подобен треугольнику $BAC$ ($\triangle BDE \sim \triangle BAC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы $\angle BED$ и $\angle BCA$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $BC$.

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{DE}{AC} = \frac{BE}{BC}$

7. Мы знаем, что $E$ — точка на отрезке $BC$, поэтому $BE = BC - CE$. Подставим это выражение в пропорцию, а также заменим $DE$ на равный ему отрезок $CE$ (из пункта 4):$\frac{CE}{AC} = \frac{BC - CE}{BC}$

8. Подставим известные значения $AC = 16$ и $BC = 24$ в полученное уравнение:$\frac{CE}{16} = \frac{24 - CE}{24}$

9. Решим это уравнение относительно $CE$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$24 \cdot CE = 16 \cdot (24 - CE)$$24 \cdot CE = 384 - 16 \cdot CE$$24 \cdot CE + 16 \cdot CE = 384$$40 \cdot CE = 384$$CE = \frac{384}{40} = \frac{48}{5} = 9.6$ см.

10. Так как $DE = CE$, то длина отрезка $DE$ также равна 9,6 см.

Ответ: $9.6$ см.

173. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S = (n - 2) \times 180^\circ$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Для семиугольника количество сторон $n = 7$.

Подставим это значение в формулу:

$S = (7 - 2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$.

Следовательно, сумма углов выпуклого семиугольника равна $900^\circ$.

Ответ: $900^\circ$.

174. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна:

1) $1080^{\circ}$;

2) $1200^{\circ}$?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника находится по формуле:
$S = (n - 2) \cdot 180°$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Для того чтобы такой многоугольник существовал, количество его сторон $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3 ($n \ge 3$). Проверим, выполняется ли это условие для каждого из предложенных случаев.

1) 1080°

Подставим в формулу значение суммы углов $S = 1080°$ и найдем $n$:
$(n - 2) \cdot 180° = 1080°$

Разделим обе части уравнения на 180°:
$n - 2 = \frac{1080}{180}$
$n - 2 = 6$

Решим уравнение относительно $n$:
$n = 6 + 2$
$n = 8$

Мы получили целое число $n = 8$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Следовательно, выпуклый многоугольник с такой суммой углов существует. Это восьмиугольник.
Ответ: да, существует.

2) 1200°

Теперь подставим в формулу значение $S = 1200°$ и найдем $n$:
$(n - 2) \cdot 180° = 1200°$

Разделим обе части уравнения на 180°:
$n - 2 = \frac{1200}{180}$
$n - 2 = \frac{120}{18} = \frac{20}{3}$

Решим уравнение относительно $n$:
$n = \frac{20}{3} + 2 = \frac{20}{3} + \frac{6}{3} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$

Поскольку количество сторон $n$ получилось дробным числом, а оно должно быть целым, то выпуклый многоугольник с такой суммой углов не существует.
Ответ: нет, не существует.

175. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен:

1) $72^\circ$;

2) $171^\circ$?

Для того чтобы существовал выпуклый многоугольник, у которого все углы равны (такой многоугольник называется правильным), необходимо, чтобы число его сторон $n$ было целым числом и $n \ge 3$.
Величину внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника можно найти по формуле:
$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$
Из этой формулы можно выразить число сторон $n$ через известный угол $\alpha$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$
Используем эту формулу для проверки каждого случая.

1) 72°
Подставим значение угла $\alpha = 72^\circ$ в формулу для нахождения числа сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 72^\circ} = \frac{360}{108} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$
Поскольку число сторон $n$ не является целым числом, многоугольника, каждый угол которого равен 72°, не существует.
Ответ: не существует.

2) 171°
Подставим значение угла $\alpha = 171^\circ$ в формулу для нахождения числа сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 171^\circ} = \frac{360}{9} = 40$
Поскольку число сторон $n = 40$ является целым числом ($40 \ge 3$), то такой многоугольник существует. Это правильный сорокаугольник.
Ответ: существует.