Номер 164, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

164. Найдите площадь трапеции, основания которой равны 10 см и 50 см, а боковые стороны – 13 см и 37 см.

Для нахождения площади трапеции используется формула $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

По условию, основания трапеции равны 10 см и 50 см, а боковые стороны — 13 см и 37 см. Обозначим трапецию как ABCD, где $BC = 10$ см и $AD = 50$ см — основания, а $AB = 13$ см и $CD = 37$ см — боковые стороны.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершин B и C высоты BH и CK на большее основание AD. Длина этих высот равна $h$, то есть $BH = CK = h$.

Фигура HBCK является прямоугольником, поэтому $HK = BC = 10$ см.

Большее основание AD состоит из трех отрезков: AH, HK и KD. Таким образом, $AD = AH + HK + KD$. Подставив известные значения, получим: $50 = AH + 10 + KD$, откуда следует, что $AH + KD = 40$ см.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые образовались в результате построения: $\triangle ABH$ и $\triangle CKD$. Применим к ним теорему Пифагора.

Для $\triangle ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Подставим значения: $13^2 = AH^2 + h^2$, откуда $h^2 = 169 - AH^2$.

Для $\triangle CKD$: $CD^2 = KD^2 + CK^2$. Подставим значения: $37^2 = KD^2 + h^2$, откуда $h^2 = 1369 - KD^2$.

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($h^2$), мы можем приравнять их правые части:

$169 - AH^2 = 1369 - KD^2$

Перенесем члены, чтобы сгруппировать известные и неизвестные:

$KD^2 - AH^2 = 1369 - 169$

$KD^2 - AH^2 = 1200$

Применим формулу разности квадратов $(KD-AH)(KD+AH) = 1200$.

Ранее мы нашли, что $AH + KD = 40$. Подставим это значение в уравнение:

$(KD-AH) \cdot 40 = 1200$

$KD-AH = \frac{1200}{40} = 30$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными AH и KD:

$KD + AH = 40$

$KD - AH = 30$

Сложив эти два уравнения, получим: $2 \cdot KD = 70$, откуда $KD = 35$ см. Подставив это значение в первое уравнение, найдем AH: $35 + AH = 40$, откуда $AH = 5$ см.

Теперь мы можем найти высоту $h$, используя любое из ранее полученных выражений для $h^2$. Возьмем $h^2 = 169 - AH^2$:

$h^2 = 169 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Наконец, вычислим площадь трапеции по исходной формуле:

$S = \frac{10 + 50}{2} \cdot 12 = \frac{60}{2} \cdot 12 = 30 \cdot 12 = 360$ см².

Ответ: 360 см².