Номер 157, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

157. Найдите площадь треугольника, сторона которого равна $a$, а прилежащие к ней углы равны $\beta$ и $\gamma$.

Для решения задачи воспользуемся известными данными: стороной треугольника $a$ и двумя прилежащими к ней углами $\beta$ и $\gamma$. Площадь треугольника можно найти, зная две стороны и угол между ними. Мы можем найти вторую сторону, используя теорему синусов.

1. Сначала найдем третий угол треугольника, который лежит напротив известной стороны $a$. Обозначим его $\alpha$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$

2. Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$ где $b$ — сторона, противолежащая углу $\beta$, а $c$ — сторона, противолежащая углу $\gamma$. Выразим одну из сторон, например $c$, через известные величины: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}$ $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha}$

3. Подставим в это выражение найденный угол $\alpha$: $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))}$ Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем: $c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$

4. Теперь у нас есть две стороны ($a$ и $c$) и угол между ними ($\beta$). Площадь треугольника ($S$) можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} a c \sin \beta$ Подставим в эту формулу полученное выражение для стороны $c$: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a \sin \gamma}{\sin(\beta + \gamma)}\right) \cdot \sin \beta$

5. Упростив выражение, получим окончательную формулу для площади треугольника: $S = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin(\beta + \gamma)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin \beta \sin \gamma}{2 \sin(\beta + \gamma)}$