Номер 159, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

159. В треугольнике ABC $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}xy\sin(\gamma)$, где $x, y$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В нашем случае известна сторона $AC = b$ и прилежащий к ней угол $\angle A = \alpha$. Возьмем также сторону $AB$ (обозначим ее как $c$). Тогда угол между сторонами $AC$ и $AB$ — это $\angle A = \alpha$, и формула для площади примет вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle A) = \frac{1}{2}bc\sin(\alpha)$

Чтобы использовать эту формулу, нам необходимо найти длину стороны $c = AB$. Мы можем сделать это с помощью теоремы синусов, но для этого сначала нужно найти третий угол треугольника, $\angle C$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь применим теорему синусов:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные нам обозначения:

$\frac{c}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\frac{c}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$

Теперь, когда мы нашли выражение для стороны $c$, подставим его в нашу формулу для площади:

$S = \frac{1}{2}b \cdot \left(\frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}\right) \cdot \sin(\alpha)$

Упростив это выражение, получаем окончательную формулу для площади треугольника:

$S = \frac{b^2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}{2\sin(\beta)}$

Ответ: $S = \frac{b^2 \sin(\alpha) \sin(\alpha + \beta)}{2\sin(\beta)}$