Номер 153, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Площадь:

153. Может ли площадь треугольника со сторонами 4 см и 6 см быть равной: 1) 6 $\text{см}^2$; 2) 14 $\text{см}^2$; 3) 12 $\text{см}^2$?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними. Пусть нам даны стороны $a = 4$ см и $b = 6$ см, а $\gamma$ — угол между этими сторонами. Тогда площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

Подставим в формулу известные длины сторон:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin\gamma = 12\sin\gamma$

Угол в треугольнике может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$, поэтому синус этого угла $\sin\gamma$ может принимать значения в диапазоне от 0 до 1 ($0 < \sin\gamma \le 1$).

Площадь треугольника будет максимальной, когда $\sin\gamma$ будет максимальным, то есть $\sin\gamma = 1$. Это соответствует углу $\gamma = 90^\circ$.

Максимально возможная площадь для треугольника с данными сторонами составляет:

$S_{max} = 12 \cdot 1 = 12$ см$^2$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) 6 см²

Проверим, может ли площадь треугольника быть равной 6 см². Для этого подставим это значение в нашу формулу для площади:

$6 = 12\sin\gamma$

Отсюда найдем значение $\sin\gamma$:

$\sin\gamma = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Поскольку $0 < \frac{1}{2} \le 1$, то такое значение синуса возможно (например, для угла $\gamma = 30^\circ$). Следовательно, площадь треугольника может быть равной 6 см².

Ответ: да, может.

2) 14 см²

Сравним это значение с максимально возможной площадью:

$14 \text{ см}^2 > S_{max} = 12 \text{ см}^2$

Так как 14 см² больше максимально возможной площади для треугольника со сторонами 4 см и 6 см, то такая площадь невозможна.

Ответ: нет, не может.

3) 12 см²

Проверим, может ли площадь быть равной 12 см².

$12 = 12\sin\gamma$

$\sin\gamma = \frac{12}{12} = 1$

Это значение синуса достигается, когда угол $\gamma$ между сторонами равен $90^\circ$. Такой треугольник является прямоугольным, и его площадь равна половине произведения катетов. Следовательно, площадь может быть равна 12 см².

Ответ: да, может.