Номер 158, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

158. Радиус окружности, описанной около треугольника, равен $R$, а два угла треугольника равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, у которого радиус описанной окружности равен $R$, а два угла равны $\alpha$ и $\beta$. Обозначим третий угол треугольника как $\gamma$, а стороны, противолежащие углам $\alpha, \beta, \gamma$ как $a, b, c$ соответственно.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, третий угол $\gamma$ можно найти по формуле:
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Для нахождения площади треугольника $S$ воспользуемся формулой, использующей две стороны и угол между ними:
$S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Чтобы найти длины сторон $a$ и $b$, применим обобщенную теорему синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности $R$:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

Из этой теоремы выразим стороны $a$ и $b$:
$a = 2R \sin \alpha$
$b = 2R \sin \beta$

Теперь подставим полученные выражения для сторон $a$, $b$ и угла $\gamma$ в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} (2R \sin \alpha) (2R \sin \beta) \sin(180^\circ - (\alpha + \beta))$.

Упростим это выражение. Воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$. Применив ее, получим:
$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$.

Подставляем это обратно в выражение для площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 4R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.

Сократив, получаем окончательную формулу для площади треугольника:
$S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.

Ответ: $S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin(\alpha + \beta)$.