Номер 170, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

170. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит его угол в отношении $4 : 5$. Определите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на диагональ $AC$. По условию, перпендикуляр $BH$ делит прямой угол $\angle ABC$ на два угла, $\angle ABH$ и $\angle CBH$, в отношении $4:5$.

Сумма этих углов равна углу прямоугольника, то есть $90^\circ$.
$\angle ABH + \angle CBH = 90^\circ$
Пусть одна часть составляет $x$ градусов, тогда углы равны $4x$ и $5x$. Составим уравнение:
$4x + 5x = 90^\circ$
$9x = 90^\circ$
$x = 10^\circ$
Следовательно, один угол равен $4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$, а другой $5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$. Для дальнейшего решения неважно, какой из углов больше, но для определенности положим, что $\angle ABH = 40^\circ$ и $\angle CBH = 50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $BH$ - перпендикуляр). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
$\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Теперь проведем вторую диагональ $BD$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO = CO$. Это означает, что треугольник $\triangle BOC$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ углы при основании $BC$ равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Так как $\angle OCB$ это тот же угол, что и $\angle BCH$, то $\angle OBC = 40^\circ$.

Искомый угол — это угол между перпендикуляром $BH$ и другой диагональю $BD$, то есть $\angle HBD$. Этот угол можно найти как разность между углом $\angle CBH$ и углом $\angle CBO$ (так как луч $BO$ проходит между сторонами угла $\angle CBH$).
$\angle HBD = \angle CBH - \angle CBO = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$