Номер 171, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

171. Средняя линия $MK$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 56 см. Через середину $M$ стороны $AB$ проведена прямая, которая параллельна стороне $CD$ и пересекает основание $AD$ в точке $E$ так, что $AE : ED = 5 : 8$. Найдите основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, где $BC \parallel AD$. $MK$ - средняя линия трапеции, $M$ - середина $AB$, $K$ - середина $CD$. По условию, $MK = 56$ см.

Длина средней линии трапеции равна полусумме ее оснований: $MK = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим известное значение длины средней линии: $56 = \frac{BC + AD}{2}$

Отсюда найдем сумму оснований трапеции: $BC + AD = 56 \cdot 2 = 112$ см.

Построим дополнительно прямую через вершину $B$, параллельную боковой стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ в точке $P$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDP$. В нем $BC \parallel PD$ (так как лежат на параллельных прямых $BC$ и $AD$) и $BP \parallel CD$ (по построению). Следовательно, $BCDP$ - параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что $BC = PD$ и $BP = CD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABP$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по условию. Через точку $M$ проведена прямая, пересекающая сторону $AD$ в точке $E$. По условию, эта прямая параллельна стороне $CD$. Так как $BP \parallel CD$, то и $ME \parallel BP$.

Согласно теореме Фалеса, если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то она пересечет третью сторону в ее середине. В треугольнике $ABP$ прямая $ME$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и параллельна стороне $BP$, следовательно, она пересекает сторону $AP$ в ее середине, то есть в точке $E$. Таким образом, $E$ - середина отрезка $AP$, и $AE = EP$.

Основание $AD$ можно представить как сумму отрезков: $AD = AP + PD$. Так как $AP = AE + EP$ и $AE = EP$, то $AP = 2 \cdot AE$. Также мы установили, что $PD = BC$. Подставив эти выражения, получим: $AD = 2 \cdot AE + BC$.

Из условия задачи известно соотношение $AE : ED = 5 : 8$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $AE = 5x$ и $ED = 8x$.

Длина всего основания $AD$ равна $AD = AE + ED = 5x + 8x = 13x$.

Теперь подставим выражения для $AD$ и $AE$ через $x$ в равенство $AD = 2 \cdot AE + BC$: $13x = 2 \cdot (5x) + BC$ $13x = 10x + BC$ $BC = 13x - 10x = 3x$.

Мы получили выражения для длин обоих оснований через $x$. Теперь используем найденную ранее сумму оснований: $BC + AD = 112$ $3x + 13x = 112$ $16x = 112$ $x = \frac{112}{16} = 7$.

Найдем длины оснований: Меньшее основание $BC = 3x = 3 \cdot 7 = 21$ см. Большее основание $AD = 13x = 13 \cdot 7 = 91$ см.

Ответ: основания трапеции равны 21 см и 91 см.